2 Tangentialebenen

16.04.2006, 14:00

aRo

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2 Tangentialebenen

Hi!

Geben sei die Kugel $\begin{eqnarray*} K: (\vec{x} -\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} )^2 = 4 \end{eqnarray*}$ und die Punkte $\begin{eqnarray*} P(3|2|0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q(4|2|1) \end{eqnarray*}$
Ich soll jetzt die beiden Tangetialebenen an die Kugel K bestimmen, die die Gerade durch PQ enthalten.

Wie würdet ihr das lösen? Mein eigener Ansatz fürht wieder zu nix, ich habe einmal aufgestellt, dass P und einmal das Q in der Ebene liegen (2 Ebenengleichungen) und dann noch die Bedingung $\begin{eqnarray*} |2a+b+3c| = 2 \sqrt(a^2+b^2+c^2) \end{eqnarray*}$ ,....aber da kommt a=b=c=0 raus, also unbrauchbar.

Es geht wohl mit der allgemeinen Gleichung für eine Tangetialebene: $\begin{eqnarray*} (\vec{x}-\vec{m})(\vec{b}-\vec{m})=r^2 \end{eqnarray*}$ Jedenfalls habe ich dazu einen Ansatz hier stehen. Aber irgendwie ist mir diese allgemeine Gleichung zuwider Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das muss doch auch so irgendwie gehen! Wäre für Vorschläge dankbar!

aRo

edit: grammatik korrigert..^^

16.04.2006, 15:23

Poff

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RE: 2 Tangentialebenen
Eine Ebene hab ich mal ausgerechnet, allerdings gefällt mir
der Weg nicht wirklich !

(M-P)*((P-Q) x (a;b;c)) = 0

wobei du einer der 3 Variablen mal mit Null ansetzen kannst zB. c=0

(M-P)*((P-Q) x (a;b;0)) = 0

und speziell für die Tangentialebenen

(M-P)*((P-Q) x (a;b;0))o = +-2

rechen
(-4*b+a)^2 = 4*(2*b^2+a^2)

Lösung a=4*b+2*(-8/3+1/3*sqrt(10))*b

zB b=1 vorwählen ergibt

a=-4/3+2/3*sqrt(10), {-4/3-2/3*sqrt(10)}

und die eine Ebene wäre dann

(X-P)*((P-Q) x (-4/3+2/3*sqrt(10);1;0)) = 0

bzw (X-P) * (1; 4/3-2/3*sqrt(10);-1) = 0

was sich tatsächlich als richtig erweist mit d=-2
.

16.04.2006, 15:38

incass

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@poff schreib bitte deine ebenen mal in korrdinatenform hin. ich bin grad an 2 lösungswegen dran und möchte kontrollieren.

16.04.2006, 15:45

Poff

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3*x+4*sqrt(10)+4*y-2*y*sqrt(10)-3*z -17=0

die sollte es sein.

16.04.2006, 15:49

incass

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ich habe 2 logische Ansätze, die beide dazu führen, dass es eine solche Ebene nicht gibt. Ist die Aufgabe selber ausgedacht?

16.04.2006, 15:52

Poff

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Wieso nicht gibt?

Da ist doch eine, kannst du überprüfen die erfüllt alles !

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16.04.2006, 15:59

Grand

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geben sollte es die doch auf jeden fall.Man denke an eine Schnittgeraden von 2 Tangentialebenen.

Genau über den Ansatz würde ich vielleicht auch gehen.
Man weiß doch , dass der normalenvektor der beiden tangentialebenen senkrecht auf dem RV der geraden steht und durch den Ursprung der Kugel geht.Eigentlich sollte das als Ansatz genügen oder?

16.04.2006, 16:00

incass

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Ich zieh das aber mal ganz schnell zurück. Ich muss meinen Rechenweg überprüfen verwirrt

verwirrt

hast recht Freude

Freude

16.04.2006, 17:20

riwe

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ich denke, ich habe dieselbe häßliche lösung wie poff.
sei $\begin{eqnarray*} \vec{x}_0= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
der normierte normalenvektor der tangentialebene. dann bekommt man durch einsetzen der 3 bekannten punkte in die ebengleichung bzw. die HNF:
a + c = 0 und b = 4c - 2
das in
$\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 \end{eqnarray*}$
einsetzen, liefert für c:
$\begin{eqnarray*} c_{1,2}=\frac{1}{18}(8\pm \sqrt{10} ) \end{eqnarray*}$
und eines der häßlichen monster in kooform:
-0.6201x + 0.4805y + 0.6201z + 0.8994 = 0
ächz
werner

16.04.2006, 17:27

aRo

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Zitat:

dann bekommt man durch einsetzen der 3 bekannten punkte in die ebengleichung bzw. die HNF:
a + c = 0 und b = 4c - 2

versteh ich nicht. wieso 3 bekannte punkte? und wie die gleichungen?

Ich glaube ich habe davon noch eine Aufgabe mit anderen Zahlen, vielleicht ist die schöner. Aber zuerst will ich das hier mal verstehn Augenzwinkern

Augenzwinkern

aRo

16.04.2006, 17:35

incass

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An den Lösungen ändert sich bei mir auch nichts.

Allerdings habe ich es anders gerechnet:

Hab die Schar der Ebenen aufgestellt, in denen die Gerade PQ liegt.

Dann geschaut für welche (beiden) Ebenen der Schar der Abstand zum Mittelpunkt d = 2 ist (Radius der Kugel). Und das gab genau zwei Ebenen. Wenn du willst schreib ichs hier rein aber angesichts der Zahlen würde ich es lieber mit der anderen Aufgabe vorführen.

Einen zweiten Lösungsweg habe ich auch noch, wo 2 Thaleskugeln aufgestellt wurden.

16.04.2006, 17:54

Poff

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Aro,

die Aufgabe kann man auf ein paar weitere Wege lösen als
auf dem von mir vorgerechneten Weg.
(Ich wollte eine Lösung ohne Berührpunkt & Co)

Nur scheint mir fast alles in üble Rechnerei auszuarten, es sei
man gibt sich mit Fließkommalösungen zufrieden, dann lässt
sich das einigermaßen einfach bestimmen.

Wenn du noch die 2. Ebene willst, kannst die von mir bestimmte
zur Übung mal an der Ebene PQM spiegeln.

Hab die Schar der Ebenen aufgestellt, in denen die Gerade PQ liegt.

Genau das hab ich auch gemacht, war das zu übersehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.04.2006, 17:56

incass

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das hab ich so auch nie gesagt.

Ein alternativer Lösungsvorschlag:

Die Berührpunkte B und B' der beiden Tangentialebenen liegen

auf der Kugel die gegeben ist
und auf der Thaleskugel 1 mit (1/2)*MP als Mittelpunkt und |MP|*(1/2) als Radius
und auf der Thaleskugel 2 mit (1/2)*MQ als Mittelpunkt und |MQ|*(1/2) als Radius

schneidet man die 3 Kugeln (LGS) erhält man also die Berührpunkte, aus denen dann die Ebenen folgen.

16.04.2006, 18:45

Poff

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Zitat:

Original von incass
Ein alternativer Lösungsvorschlag:

Die Berührpunkte B und B' der beiden Tangentialebenen liegen

auf der Kugel die gegeben ist
und auf der Thaleskugel 1 mit (1/2)*MP als Mittelpunkt und |MP|*(1/2) als Radius
und auf der Thaleskugel 2 mit (1/2)*MQ als Mittelpunkt und |MQ|*(1/2) als Radius

das ist beides falsch, denk nochmal drüber nach
.

16.04.2006, 18:45

incass

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mit absoluter sicherheit nicht. Vielleicht kannst du dir es nicht vorstellen ?

Ist schon ein starkes Stück, wie richtige Lösungswege einfach als falsch eingeordnet werden.

16.04.2006, 18:52

Poff

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Mit absoluter sicherheit ist das falsch.

Beweis
Lass P auf g ins Unendliche laufen dann liegt DEIN Berührpunkt auf der
Parallelebenen zu MPQ, was mit absoluter Sicherheit falsch ist

16.04.2006, 18:55

incass

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Anstatt solche Kommentare von dir zu geben, solltest du dir lieber mal die Situation genau vorstellen oder nachfragen, wenn du damit Probleme hast.

Wenn wir eine schönere Aufgabe hätten, würd ich es dir auch vorrechnen, dann würdest du am Ergebnis ja sehen, dass es so ist.

16.04.2006, 19:23

Poff

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Ok ich nehm das zuück, ich hab das in der LösungsDarstellung
mit etwas verwechselt.

Um zu dem effektiven Berührpunkt zu kommen musst den
Schnittkreis bzw Schnittebene dann noch mit einer weiteren
Ebene schneiden, ja dann kommst hin.

16.04.2006, 19:28

riwe

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Zitat:

Original von aRo

Zitat:

dann bekommt man durch einsetzen der 3 bekannten punkte in die ebengleichung bzw. die HNF:
a + c = 0 und b = 4c - 2

versteh ich nicht. wieso 3 bekannte punkte? und wie die gleichungen?

Ich glaube ich habe davon noch eine Aufgabe mit anderen Zahlen, vielleicht ist die schöner. Aber zuerst will ich das hier mal verstehn Augenzwinkern

Augenzwinkern

aRo

hallo aro, ich hoffe es stimmt alles, mit dem normalenvektor wie oben und "ohne spezialformeln":
mit P1 die normalvektorform von E aufstellen
$\begin{eqnarray*} (\vec{x} -\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} )\begin{pmatrix} a\\ b \\ c \end{pmatrix} =0\Rightarrow ax+by+cz-3a-2b=0 \end{eqnarray*}$
nun P2 einsetzen
$\begin{eqnarray*} 4a+2b+c-3a-2b=0\Rightarrow a+c=0 \end{eqnarray*}$
nun in die HNF von E M einsetzen
$\begin{eqnarray*} 2a+b+3c-3a-2b=\pm 2\text{ mit a + c = 0 }\Rightarrow 4c-b=\pm 2\Rightarrow b=4c-2 \end{eqnarray*}$
letzteres folgt aus a, b und c <= 1.
und nun einsetzen wie oben angeführt, ergibt
$\begin{eqnarray*} 18c^{2}-16c+3=0 \end{eqnarray*}$

usw.
werner

n.s. meiner ansicht gibt es (eine) solche tangentialebene(n) immer, soferne die gerade die kugel nicht schneidet Big Laugh

Big Laugh

16.04.2006, 19:40

Poff

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Zitat:

Original von incass
Ist schon ein starkes Stück, wie richtige Lösungswege einfach als falsch eingeordnet werden.

was soll eigentlich dieser blöde Kommentar ?

was heißt da starkes Stück ?
Ich hab was falsch gedeutet und zudem eine nicht richtige
Aussage gemacht, von der ich kurzfristig allerdings überzeugt war.

Du hast auch schon diverse Fehlschüsse abgegeben ...
oder muss ich die erst rauskramen ... ?

16.04.2006, 19:47

incass

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nein, es war auch nicht so gemeint, wie es sich angehört hat, sorry.

Tanzen

Tanzen

16.04.2006, 20:14

Poff

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Beweis
Lass P auf g ins Unendliche laufen dann liegt DEIN Berührpunkt auf der
Parallelebenen zu MPQ, was mit absoluter Sicherheit falsch ist

das war übrigens noch nichtmal so falsch, denn 2 jener Thales-
kugelpunkte sind dann tatsächlich die Berührpunkte der
Parallelebenen zu MPQ, NUR liegen die Berührpunkte B und B'
EBENFALLS drauf, weil sie eben in der Ebene (X-M)*(P-Q)=0 liegen

war also kein blindes Gequatsche, ich hatte mir schon was
dabei gedacht, auch wenn es nicht vollständig war, wars nichtmal
vollständig falsch. Hatte halt Schnellschußcharakter und ich war
mehr mit dem Wandern bestimmter Punkte befasst als mit dem
NICHTWandern bestimmter Fixpunkte.

Werd ich nicht vergessen das Faktum, dem 'Zoff' sei Dank

Haken wirs ab .

16.04.2006, 20:27

incass

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Das mit dem unendlichen ist halt so eine Sache.

Für P gegen unedlich liegt der Punkt auf der Paralellebene. Da aber unenldich nie erreicht ist, wird dies nie so sein.

anderes Bsp: Die e-Funktion geht (!) für x gegen unendlich gegen Null. Man würde aber nie sagen, dass sie jemails null wird.

Es gibt eine ganze Reihe von Aufgaben, die mit Unendlichkeiten arbeiten und z.B. die ganze Integralrechnung in Frage stellen, aber das geht jetzt hier zu weit smile

smile

16.04.2006, 20:35

aRo

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Hi!

Thaleskugeln kenn ich leider nciht so richtig, habs mir jetzt leider auch nicht angeschaut. Poffs Ansatz müsste ich mir mal alles abschreiben, mit diesen ganzen komischen Zeichen da blick ich da nicht ganz durch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habs jetzt so wie Werner gemacht, und zwar mit anderen Zahlen:

$\begin{eqnarray*} P(5|2|1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q(6|2|-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K : [\vec{x} -\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} ]^2 = 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_1: [\vec{x} -\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} ) \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

sowie:

$\begin{eqnarray*} E_2: [\vec{x} -\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} ) \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Gruß,
aRo

16.04.2006, 21:42

Poff

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Zitat:

Original von incass
Das mit dem unendlichen ist halt so eine Sache.

Für P gegen unedlich liegt der Punkt auf der Paralellebene. Da aber unenldich nie erreicht ist, wird dies nie so sein.

das geht schon, gerade bei Kugeln und Ebenen, die Ebene
ist nichts anders als eine bestimmte Kugel mit Radius oo

Aro,

das mit den Thaleskugeln ist wohl nicht einfacher, erwarte ich
zumindest. Die von Werner gepostete HNF-Variante ist
im Prinzip genau das was ich auch gerechnet hab, halt etwas
anders im formal rechentechnischen Ablauf.
Ich denke wenn du's so rechnest wie von Werner angedeutet
bleibts übersichtlicher, einleuchtender und etwas einfacher.

An meinen Rechnungen darst dich nicht unbedingt orientieren,
ich rechne aus NULL Übung heraus und mich interessieren
meist nicht die gängigen Wege.

Wenn ich hier nicht zufällig reingerutscht wäre hätt ich das
Zeug nicht gerechnet. So eine Vorgabe zu rechnen,
wenn ichs denn wirklich müsste, ist nicht wirklich Thema,
notfalls eben um diverse Ecken wenns wirklich anders nicht wollte.
Meist hab ich eher zuviel Wege im Kopf als zuwenig,
und wenn ich bemerke da ist nichts einfaches dabei
interessiert mich üblicherweise das ganze Problem
nicht mehr, es sei denn das Problem selbst wäre interessant,

Kugeln, Pyramiden und Co sind in der üblichen Problematik aber
völlig uninteressant, Kugeln noch widerlicher als der Rest,
weil langweilig UND blöd zu rechnen noch dazu

.

16.04.2006, 21:44

riwe

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hallo aro,
wo hast du denn diese schönen zahlen versteckt gehabt! Teufel

Teufel

ich habe die selben werte, könntest ja noch ein bißchen kosmetik machen und die vielen minusserl ausmisten!
ich finde, das ist doch ein ganz einfacher weg oder?
(zur kontrolle kann man ja die winkelsymmetralen erstellen und schauen/ gucken, ob M auf einer der beiden liegt (er tut es)).

thaleskugel = analogon zum thaleskreis in R2. ist auf jeden fall viel mehr arbeit!

eigentlich bin ich ja ganz erstaunt, dass es so einfach funktioniert, der anstoß dazu war eh ein thread von dir: erinnerlich ebene erstellen mit 2 punkten und abstand d von O! also dank dir schön!
werner

n.s wie poff gerade sagte: das war eigentlich einmal eine sehr schöne, interessante aufgabe! auch wenn kugeln nerven.

16.04.2006, 22:09

Poff

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Das was ich hier mitgenommen hab ist, dass der Schnitt ALLER
Thaleskugeln über beliebige Strecken XM (X auf g) UND der
Kugel selbst, genau die beiden EbenenBerührpunkte sind und sonst
nichts, obwohl der Rest dabei vollständig über die Kugel wandert.

Schneidest 3 davon hast die Berührpunkte, bzw du bekommst
die Gerade durch die Berührpunkte.

16.04.2006, 22:43

aRo

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freut mich, dass die Aufgabe viele Interessenten gefunden hat smile

smile

ja, ich finde unsere (ist ja irgendwie von allen Augenzwinkern

Augenzwinkern

) Variante ist voll kommen in Ordnung. Schnell zu rechnen etc.

Ich finde diesen Trick auch interessant, dass man einfach $\begin{eqnarray*} a^2+b^2+c^2 = 1 \end{eqnarray*}$ fest legt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Damit spart man sich viel Ärger.

edit: tut mir leid wegen den bösen Zahlen am Anfang. Hatte von der Sorte zwei Aufgaben, und die erste war wohl vom Aufgabenersteller nicht besonders gut durchgeplant. Die zweite Aufgabe habe ich auch erst später auf einem Arbeitsblatt erspäht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß,
aRo

16.04.2006, 23:26

riwe

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den trick mit "...= 1" sollte man sich überall dort merken/ überlegen, wo die HNF oder ähnliches ins spiel kommt!
im hinterkopferl behalten!
werner

17.04.2006, 02:06

Poff

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Die Alternative in ultimativer Endform

Geg
g: X = P+R*t
k: (X-M)^2 = r^2

Gesucht die beiden Tangentialebenen (mit Teilmenge g)

Ermittle
V = (M-P) x R
u = |V| / |R|

$\begin{eqnarray*} {\it {die \, beiden\, Ebenen\, sind\, dann}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left (X-P\right )*\left (V \pm \,{\frac {V\times R}{\left |R\right |}}\cdot {\frac {r}{\sqrt {{u}^{2}-{r}^{2}}}}\right ) = 0 \end{eqnarray*}$
.

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