cauchy-integralformel

07.07.2008, 18:37

pingu

cauchy-integralformel

Hallo,

Ich bin immer noch beim selben Thema. Kann mir an Hand eines Beispiels erklären, wie die Cauchy Integralformel funktioniert und was dahinter steckt? Ich hab schon das Internet nach jeglichen Beispielen durchforstet in der Hoffnung es so zu verstehen, aber ich kann da kein Prinzip erkennen unglücklich

.

lg

07.07.2008, 18:43

Dual Space

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RE: cauchy-integralformel
Um welch Formel geht es dir denn genau? Cauchy war nämlich sehr aktiv auf diesem Gebiet. Augenzwinkern

07.07.2008, 18:56

pingu

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Hmm ja, das wäre, glaub ich, die, welche man im ZUsammenhang mit dem Wegintegral gebraucht. Also das man einen Anfangs- und einen Endpunkt geradlinig verbindet und danach die Cauchysche-Integralformel verwendet.

oder wenn man einen Kreis mit einem bestimmten Radius, z.b 2, hat mit einem Mittelpkt, wo man dann das Integral davon auch mit Cauchy bestimmen muss.

lg

07.07.2008, 19:23

WebFritzi

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RE: cauchy-integralformel

Zitat:

Original von Dual Space
Um welch Formel geht es dir denn genau? Cauchy war nämlich sehr aktiv auf diesem Gebiet. Augenzwinkern

Ich denke, dass der Begriff "Cauchysche Integralformel" unmissverständlich ist. Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel

@pingu: Was genau verstehst du daran denn nun nicht? Schau dir doch einfach einen Beweis der Formel an. Dann weißt du, warum sie gilt. Hier eine kurze Skizze:

Sei f : G->C eine holomorphe Funktion und K eine abgeschlossene und vollständig in G gelegene Kreischeibe (G soll ein Gebiet sein - also offen und wegzusammenhängend). Dann gilt für z aus der offenen Kreisscheibe:

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial K}\,\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta = \int_{\partial K}\,\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta - z}\,d\zeta + f(z) \int_{\partial K}\,\frac{d\zeta}{\zeta - z}. \end{eqnarray*}$

Da die Funktion

$\begin{eqnarray*} \zeta \mapsto \frac{f(\zeta) - f(z)}{\zeta - z} \end{eqnarray*}$

auf G\{z} holomorph und nach z holomorph fortsetzbar ist, folgt nach dem Cauchyschen Integralsatz:

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial K}\,\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta = f(z) \int_{\partial K}\,\frac{d\zeta}{\zeta - z}. \end{eqnarray*}$

Das letzte Integral lässt sich mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes und durch anschließendes Parametrisieren des Kreises leicht ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial K}\,\frac{d\zeta}{\zeta - z} = 2\pi i. \end{eqnarray*}$

Daraus folgt die Integralformel.

07.07.2008, 19:37

Leopold

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Wende die Cauchysche Integralformel in Beispielen an. Dann bekommst du ein Gefühl für die Sache. Mit den üblichen Voraussetzungen gilt im einfachsten Fall:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi \operatorname{i}}\int_{\gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}~ \dd \zeta = j(\gamma,z) \cdot f(z) \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} j(\gamma,z) \end{eqnarray*}$ bezeichne ich dabei die Windungszahl von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .

Beispiele:

$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ sei der sich einmal um den Ursprung windende positiv orientierte Einheitskreis. Dann ist $\begin{eqnarray*} j(\gamma,z) = 1 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ im Kreisinnern, und $\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ im Kreisäußeren liegt.

$\begin{eqnarray*} \text{a)} \ \ \ \ z = \frac{2}{3} \, , \ \ f(\zeta) = \operatorname{e}^{\zeta} \ : \ \ \ \frac{1}{2\pi \operatorname{i}} \int_{\gamma} \frac{\operatorname{e}^{\zeta}}{\zeta - \frac{2}{3}}~ \dd \zeta = \operatorname{e}^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{b)} \ \ \ \ z = \frac{4}{3} \, , \ \ f(\zeta) = \operatorname{e}^{\zeta} \ : \ \ \ \frac{1}{2\pi \operatorname{i}} \int_{\gamma} \frac{\operatorname{e}^{\zeta}}{\zeta - \frac{4}{3}}~ \dd \zeta = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{c)} \ \ \ \ z = \frac{\operatorname{i} \pi}{4} \, , \ \ f(\zeta) = \operatorname{e}^{\zeta} \ : \ \ \ \frac{1}{2\pi \operatorname{i}} \int_{\gamma} \frac{\operatorname{e}^{\zeta}}{\zeta - \frac{\operatorname{i} \pi}{4}}~ \dd \zeta = \sqrt{\frac{1}{2}} \left( 1 + \operatorname{i} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{d)} \ \ \ \ z = 0 \, , \ \ f(\zeta) = \zeta^2 - 1 \ : \ \ \ \frac{1}{2\pi \operatorname{i}} \int_{\gamma} \frac{\zeta^2 - 1}{\zeta}~ \dd \zeta = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{e)} \ \ \ \ z = -2 \operatorname{i} \, , \ \ f(\zeta) = \zeta^2 - 1 \ : \ \ \ \frac{1}{2\pi \operatorname{i}} \int_{\gamma} \frac{\zeta^2 - 1}{\zeta - 2 \operatorname{i}}~ \dd \zeta = 0 \end{eqnarray*}$

So, wie man aus dem Cauchyschen Integralsatz die Integralformel herleiten kann, ist andererseits der Integralsatz in der Integralformel enthalten; siehe die Beispiele b) und e).

07.07.2008, 19:44

Dual Space

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RE: cauchy-integralformel

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Dual Space
Um welch Formel geht es dir denn genau? Cauchy war nämlich sehr aktiv auf diesem Gebiet. Augenzwinkern

Ich denke, dass der Begriff "Cauchysche Integralformel" unmissverständlich ist.

Schön dass du es so unmissverständlich findest. Dennoch beobachte ich bei Studenten immer wieder die Verwechslung mit diesem hier: --> http://mathworld.wolfram.com/CauchyIntegralTheorem.html

07.07.2008, 19:46

Leopold

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Aber "Theorem" heißt ja auf deutsch "Satz".

07.07.2008, 19:47

Dual Space

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Mir ist das klar ... einigen Studenten offenbar aber nicht. Ach ... macht einfach weiter.

Ich für meinen Teil frage lieber einmal öfter, bevor ich wertvolle Zeit in die falschen Beiträge investiere.

07.07.2008, 19:49

Leopold

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Komm, gehn wir'n Bier trinken!

Prost

07.07.2008, 19:50

Dual Space

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Na da bin ich dabei. Tanzen

Aber ... Cyberbier ist ein echter Nachteil des Internetzeitalters. traurig

07.07.2008, 19:52

Leopold

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Um die Ecke steht der Kühlschrank - in echt!

07.07.2008, 19:55

Dual Space

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Woher weist'n du das? geschockt

07.07.2008, 20:13

pingu

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RE: cauchy-integralformel
@ Leopold

Danke vielmals smile

Bin soeben dran und hab auch schon die erste Frage zu a). Bei 2/3 liegt ja die Singularität und der Punkt besitzt, da im Kreisinnern, den Zyklus 1. Aber was fange ich nun mit dem Zähler im Integral an?

lg

07.07.2008, 20:15

WebFritzi

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Schön, dass ich auch was von dir zu hören kriege. Immerhin habe ich mich mit deiner Frage beschäftigt und mir Zeit dafür genommen...

07.07.2008, 20:19

pingu

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@WebFritzi

Das weiss ich auch zu schätzen, aber weisst du, mir persöhnlich helfen Beispiele viel mehr als Theorie. Das darf jetzt nicht als abwertend aufgefasst werden, aber mir fällt es viel leichter, wenn ich die Anwendung begriffen habe.

lg

07.07.2008, 20:24

WebFritzi

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Das verstehe ich. Dennoch finde ich, dass man sich bedanken sollte, wenn sich schon jemand für einen Zeit nimmt. Auch wenn es einem nicht viel bringt. Vielleicht bringt es dir allerdings was, wenn du es dir tatsächlich mal anschaust... Augenzwinkern

07.07.2008, 21:28

pingu

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Ja, das hab ich auch nicht bös gemeint, du hast recht, ich hoffe du bist nicht weiter sauer und hilfst mir bei meinen Fragen trotzdem noch weiter...

lg

07.07.2008, 21:57

WebFritzi

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Nein, ich bin nicht sauer. Ich war auch nicht sauer sondern nur enttäuscht. Aber auch das bin ich jetzt nicht mehr aufgrund deiner Worte. smile

07.07.2008, 22:46

pingu

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Gut

Jetzt bei diesem Beispiel von Leopold was müsste ich da im Zähler nun tun?

lg
lg

07.07.2008, 22:54

WebFritzi

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RE: cauchy-integralformel

Zitat:

Original von pingu
Aber was fange ich nun mit dem Zähler im Integral an?

Ich verstehe dein Problem nicht. Das ist doch $\begin{eqnarray*} f(\zeta). \end{eqnarray*}$

07.07.2008, 23:09

pingu

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Vllt sind meine Frage ja wirklich so evident, aber meine Frage hier wäre, was ich nun damit machen soll? Also wie man nun genau weiterrechnet.
Ich hab mir die Formel ein wenig anders notiert, aber wahrscheinlich ist die aus dem Beispiel schon allgemeiner, also meine würde folgendermassen aussehen: $\begin{eqnarray*} \int_{c}^{}~\frac{f(z)}{z-\alpha}~dz = 2 \pi i f(z) \end{eqnarray*}$ |z=alpha. Darf ich jetzt beim Beispiel auch einfach f(z) für das im Zähler stehende nehmen? Aber weiter wäre ja dann das Problem, wenn ich nun für z 2/3 nehme, wie die Fkt dann ausschaut.

lg

07.07.2008, 23:16

WebFritzi

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Zitat:

Original von pingu
Vllt sind meine Frage ja wirklich so evident

Ja. Deine Formel ist doch genau die gleiche wie die von Leopold. Nur mit anderen Variablen und dem Unterschied, dass sein Integrationsweg irgendeiner sein kann, wobei es sich bei dir wahrscheinlich um einen Kreis handelt. In seinen Beispielen hat Leopold einfach nur in die Formel eingesetzt. Mehr nicht.

07.07.2008, 23:27

pingu

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Ok, und jetzt einfach für die ganz Dummen, wie weiter, wie funktionierts? Ich weiss, ich nerv dich wahrscheinlich, aber ich hab wohl noch das Brett vor dem Kopf unglücklich

.

lg

07.07.2008, 23:31

WebFritzi

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Wie weiter? Es geht nicht weiter. Was willst du denn noch weiter machen?

07.07.2008, 23:34

pingu

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Äh das Integral ausrechnen?

07.07.2008, 23:46

WebFritzi

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Welches?

07.07.2008, 23:47

pingu

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Ok, nehmen wir doch einfach nochmals die Aufgabe a) . Wie rechne ich da das Integral aus? Einfach Schritt für Schritt.
lg

07.07.2008, 23:50

WebFritzi

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Sag mal, willst du mich verkackeiern? Das Integral ist doch schon ausgerechnet. Da steht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi i} \end{eqnarray*}$ * Integral = $\begin{eqnarray*} e^{2/3}. \end{eqnarray*}$ Was willst du denn noch mehr?

07.07.2008, 23:56

pingu

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Nein, bestimmt nicht! Ok, sgane wir ma, wir kennen die rechte Seite nicht, wie komm ich dann auf jene?

lg

07.07.2008, 23:58

WebFritzi

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Indem du in die Cauchysche Integralformel einsetzt. Es ist nur Einsetzen, pingu. Du musst nur die Funktion f in der Formel so wählen, dass es passt.

08.07.2008, 00:10

pingu

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Das weiss ich auch, aber es funzt bei mir trotzdem nicht! Also z ist 2/3, das steht ja bereits da. Gut auf der rechten Seite können wir auch z einsetzten, nur kennen wir die Funktion nicht. Weisst du, was ich meine? nur mit einer Variablen kann man nichts anfangen,man muss auch wissen, was die Fkt mit ihr macht. Ok und bei $\begin{eqnarray*} f(\zeta) \end{eqnarray*}$ wissen wir, dass das gleich $\begin{eqnarray*} e^{\zeta} \end{eqnarray*}$ ist. Kann ich da dann einfach ganz normal integrieren? Weshalb kannst dus mir nicht Schritt für Schritt zeigen als um den Brei drumrum reden, ich bin sicher, dass ich es dann viel eher verstehen würde.Tutmir leid, aber ich raffs echt noch nicht,sonst bin ich eigntl auch nicht so.

08.07.2008, 00:19

WebFritzi

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Tut mir echt leid, pingu. Aber ich raff nicht, was du nicht raffst. Du musst doch gar nicht integrieren. Man hat doch die Formel.

Kann es sein, dass du folgendes meinst?: Sagen wir, wir haben das Integral im ersten Beispiel von Leopold. Gut. Jetzt sehen wir: hey, das sieht ja nach der Cauchyschen Integralformel aus. Aber was müssen wir jetzt als f wählen?

Wenn das deine Frage ist, dann kann ich dir dafür keine Anleitung geben. Im ersten Beispiel ist es offensichtlich, was als f zu wählen ist. In anderen Beispielen nicht so. Da muss man f halt geschickt wählen (wie man so schön sagt). Oder anders: man muss es einfach sehen. Einen Blick dafür haben. Sowas kann man sich nur antrainieren. Es gibt dafür keinen Königsweg.

08.07.2008, 00:28

pingu

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RE: cauchy-integralformel
Nicht ganz, aber ich glaub wir sind jetzt auf demrichtigen Weg, mit deiner Vermutung, was meine Frage war. Machen wir mal da weiter. Also für mich sehen die ehrlich gesagt alle nach Cauchy aus. Das mit dem Umformen hab ich auch schon mal bei nem Beispiel im Internet gesehen und mich dann gefragt, was da nun genau ist.
Aber diese 2 sehen fürmich ziemlich gleich aus. Ok, jetzt bei diesem Beispiel, wie müsste ich dann Umformen um auf Cauchy zu kommen?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi \operatorname{i}}\int_{\gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}~ \dd \zeta = j(\gamma,z) \cdot f(z) \end{eqnarray*}$
vs.
$\begin{eqnarray*} \ \ \ \frac{1}{2\pi \operatorname{i}} \int_{\gamma} \frac{\operatorname{e}^{\zeta}}{\zeta - \frac{2}{3}}~ \dd \zeta = \operatorname{e}^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$

lg

08.07.2008, 00:52

WebFritzi

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Nochmal: Du musst hier nichts umformen. Das Integral ist schon in "Cauchy-Form". Wie gesagt: einfach in die Formel einsetzen. Das sieht man doch!

08.07.2008, 07:11

Leopold

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Wenn du zum Beispiel die Kettenregel üben willst:

$\begin{eqnarray*} f(x) = g \left( h(x) \right) \ \ \Rightarrow \ \ f'(x) = g' \left( h(x) \right) \cdot h'(x) \end{eqnarray*}$

und eine Funktion wie

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin \left( x^3 + x \right) \end{eqnarray*}$

differenzieren sollst, mußt du ja auch erkennen, was $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ sein müssen, um die Regel anwenden zu können. Es geht hier um eine "Mustererkennung". Wenn die Funktionen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ auf das Muster $\begin{eqnarray*} g \left( h(x) \right) \end{eqnarray*}$ passen, kannst du die Formel anwenden. Sonst eben nicht. Und wenn jemand geschickt genug ist, erkennt er $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ . Und wer es nicht sieht, hat eben Pech gehabt, und die Formel ist für ihn ohne Nutzen.

Ähnlich auch bei der Cauchyschen Integralformel. Nehmen wir die folgende Aufgabe (wo $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ wie vorher der Einheitskreis sein soll):

Berechnen Sie das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \frac{\zeta}{\left( \zeta + \frac{1}{2} \right) \cos \zeta}~\dd \zeta \end{eqnarray*}$

Hier mußt du praktisch $\begin{eqnarray*} f(\zeta) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ erkennen, so daß sie auf das Muster der Formel passen. Wichtig dabei:

1. $\begin{eqnarray*} f(\zeta) \end{eqnarray*}$ muß auf einer Menge holomorph sein, die die abgeschlossene Einheitskreisscheibe enthält.

2. $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ darf nicht auf $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ liegen.

Wenn du nun $\begin{eqnarray*} f(\zeta) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ in die Formel

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}~\dd \zeta = 2 \pi \operatorname{i} \, \cdot \, j(\gamma,z) \cdot f(z) \end{eqnarray*}$

einsetzt, muß sich links das gewünschte Integral ergeben. Und rechts steht dann von ganz alleine der Wert des Integrals. Der Witz der Formel ist ja gerade, daß du nicht parametrisieren mußt und auch keine Stammfunktionen oder sonst etwas suchen mußt. Allerdings behandelt die Formel auch nur eine ganz spezielle Situation.

PREISFRAGE

Welches $\begin{eqnarray*} f(\zeta) \end{eqnarray*}$ und welches $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ passen?

08.07.2008, 13:35

pingu

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Ok, hier mein Versuch:
$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \frac{\frac{\zeta}{cos\zeta}}{{\left( \zeta + \frac{1}{2} \right) }}~\dd \zeta \end{eqnarray*}$ .

Ich hab nun Nenner und Zähler durch den Kosinus geteilt. Dann wäre z nun 1/2 und $\begin{eqnarray*} f(\zeta) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{\zeta}{cos\zeta} \end{eqnarray*}$ . Stimmt das so? Und was passiert nun mit der rechten Seite? Ergibt die nun 0, weil z im Innern des Kreises liegt?

lg

08.07.2008, 17:39

Leopold

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$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stimmt, $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ nur beinahe.

Jetzt setze auf der rechten Seite (das richtig bestimmte) $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ein. Wie oft windet sich denn der Einheitskreis um $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ?

08.07.2008, 21:25

pingu

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Uuups ja, ich sehs^^. z ist natürlich -1/2.
Und beim einsetzen auf der rechten Seite, bin ich immer noch nicht sicher, ob ich das richtig verstanden habe, aber ich würde meinen, dass das dann -1/2*2*pi*i wäre, also -pi*i. Und da der ganze Kreis 2*pi*i beträgt, ist das die Hälfte davon in die entgegengesetzte Richtung. Stimmt das?

lg

09.07.2008, 03:14

WebFritzi

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Zitat:

Original von pingu
Uuups ja, ich sehs^^. z ist natürlich -1/2.

Ja.

Zitat:

Original von pingu
Und beim einsetzen auf der rechten Seite, bin ich immer noch nicht sicher, ob ich das richtig verstanden habe, aber ich würde meinen, dass das dann -1/2*2*pi*i wäre, also -pi*i.

Du hast den Cosinus vergessen. Sonst stimmt's.

Zitat:

Original von pingu
Und da der ganze Kreis 2*pi*i beträgt, ist das die Hälfte davon in die entgegengesetzte Richtung. Stimmt das?

Hä?

09.07.2008, 07:08

Leopold

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Machen wir der Qual ein Ende!

Mit $\begin{eqnarray*} z = - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\zeta) = \frac{\zeta}{\cos \zeta} \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \text{rechte Seite} = 2 \pi \operatorname{i} \, \cdot \, j \left( \gamma , - \frac{1}{2} \right) f \left( - \frac{1}{2} \right) = 2 \pi \operatorname{i} \, \cdot \, 1 \cdot \, \frac{- \frac{1}{2}}{\cos \left( - \frac{1}{2} \right)} \end{eqnarray*}$

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