Fußpunkte des Lots im R³ berechnen

16.04.2006, 16:27	bunny2	Auf diesen Beitrag antworten »
Fußpunkte des Lots im R³ berechnen Hallo Leute! Ich rechne schon die ganzen Ferien über an Aufgaben, um besser in Mathe reinzukommen, da ja Abi bald vor der Tür steht.... Joa, aber bei einer Aufgabe komm ich einfach nicht auf die im Buch gegebene Lösung: Berechnen sie die Koordinaten der Fußpunkte des gemeinsamen Lots von g und $\begin{eqnarray} h_2 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} g: \overrightarrow X = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h_2: \overrightarrow X = \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In der Lösung ist das ganze mit ner geschlossenen Vektorkette gemacht worden (ist auch nur ne Teilaufgabe), aber ich wollte das ganze so machen, wie wir es immer in der Schule gemacht haben mit allgemeinem Geradenpunkt etc. Ich schreib mal meine Rechnung heir rein, wär lieb, wenn einer drüber schauen könnte allgemeiner Geradenpunkt $\begin{eqnarray} \overrightarrow G = \begin{pmatrix} 2+2\mu \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ allgemeiner Geradenpunkt $\begin{eqnarray} \overrightarrow H_2 = \begin{pmatrix} 2+2\mu \\ 8+\mu \\ -5+2\mu \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overrightarrow {H_2G} = \begin{pmatrix} 1+\lambda+2\mu \\ -9-\mu \\ 13-2\mu \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und da der Vektor ja senkerecht auf $\begin{eqnarray} \overrightarrow u_g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overrightarrow u_{h2} \end{eqnarray}$ stehen muss, das ganze dann mit Skalarprodukt. $\begin{eqnarray} \overrightarrow {H_2G} \cdot \overrightarrow u_g = \begin{pmatrix} 1+\lambda+2\mu \\ -9-\mu \\ 13-2\mu \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 + \lambda - 2\mu \end{eqnarray}$ => I.: $\begin{eqnarray} 1+\lambda - 2 \mu =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overrightarrow {H_2G} \cdot \overrightarrow u_{h2} = \begin{pmatrix} 1+\lambda+2\mu \\ -9-\mu \\ 13-2\mu \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 19+2\lambda -9\mu \end{eqnarray}$ => II.: $\begin{eqnarray} 19+2\lambda-9\mu=0 \end{eqnarray}$ 2I.-II.: $\begin{eqnarray} 2+2\lambda-4\mu-19-2\lambda+9\mu=0 \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \mu=3,4 \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \lambda= 5,8 \end{eqnarray}$ Und wenn ich das ganze nun einsetze, komm ich auf $\begin{eqnarray} \overrightarrow G = \begin{pmatrix} 8,8 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overrightarrow H = \begin{pmatrix} 8,8 \\ 11,4 \\ 1,8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die richtige Lösung ist aber: $\begin{eqnarray} \overrightarrow G = \begin{pmatrix} 8 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overrightarrow H = \begin{pmatrix} 8 \\ 11 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Wär echt dankbar, wenn mir einer auf die Sprünge helfen könnte, wo hier bitte der Fehler sein soll, ich find keinen Danke im Vorraus und sorry für die Länge des Threads, aber ich hab mir wirklich Mühe gegeben bunny2
16.04.2006, 16:36	incass	Auf diesen Beitrag antworten »
schau dir deinen allerersten Rechenschritt (Geradenpunkt g ) nochmal an ! (wobei es kein Punkt sondern ein Ortsvektor ist)
16.04.2006, 17:07	bunny2	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo incass! Ups, sorry, hab ich falsch abgetippt... Richtig ist: $\begin{eqnarray} \overrightarrow G = \begin{pmatrix} 3+ \lambda \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Rest ist dann wieder richtig, also zumindest das, was ich auf meinen Zetteln stehen hab^^ Danke für die Verbesserung! bunny2
16.04.2006, 17:50	incass	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \vec{H2g} = \begin{pmatrix} 3+u \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2+2k \\ 8+k \\ -5+2k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+u-(2+2k) \\ -1-(8+k) \\ 7-(-5+2k) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+u-2k \\ -9-k \\ 12-2k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
16.04.2006, 22:11	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich leide mit dir, versuche es mal so: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\\8 \\ -5 \end{pmatrix} +\mu \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und wenn ich mich nicht vetippt, verschrieben oder sonst keinen fehler gemacht haben sollte, bekommst du da raus: t = -6, das braucht man nicht. außer zur kontrolle, my = 3 und lambda = 5. daher die lotpunkte L1(8/-1/7) und L2(8/11/1). die idee dahinter sollte wohl klar sein, nach deinen berechnungen... sonst halt nachfragen. werner
17.04.2006, 11:52	Grand	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab die frage zwar nicht gestellt , aber könnte mal jemand ne kleine skizze machen ? ich versteh die aufgabenstellung nämlich irgendwie überhaupt nicht,was ist mit gemeinsamem lot gemeint? was da gerechnet wurde wird mir dann vielleicht auch klar.Danke im voraus Greets
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17.04.2006, 12:31	incass	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben sind die Geraden g und h2. Man sucht die Punkte G und H (G auf g; H auf h2). Dabei soll der Abstand von G und H der kürzeste sein, den die beiden Geraden jemails zueinander haben. Die kürzeste Entfernung (Verbindungsvektor der Punkte G und H) muss wie in der Skizze ersichtlich senkrecht zu beiden Geraden sein. Sonst wäre es nicht die kürzeste Entfernung.

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