Grenzwertproblem

07.07.2008, 22:33

blub85

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Grenzwertproblem

Ich suche für folgende Formel den Grenwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} {x * ln (1 + \frac{x}{x^2+1})} \end{eqnarray*}$

ich hab zuerst die formel aufgeteilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}{x} { * ln (1 +\lim_{x \to \infty}\frac{x}{x^2+1})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{x}{(x^2+1)} \end{eqnarray*}$ geht ja gegen 0

das heißt doch:
$\begin{eqnarray*} ln(1+0) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} ln(1) = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} x*0 = 0 \end{eqnarray*}$

Also geht der Grenzwert x->unednlich der Funktion von oben insgesamt gegen 0.

Ist das so richtig ???

07.07.2008, 22:49

tmo

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Welche Regeln begründen denn dein Vorgehen? Beachte, dass die Grenzwertsätze nur gelten, wenn auch Grenzwerte existieren.

Du könntest mal $\begin{eqnarray*} x \ln \left( 1+ \frac{x}{x^2+1} \right) = \ln \left( \left( 1+ \frac{x}{x^2+1} \right)^x \right) \end{eqnarray*}$ schreiben und folgende Abschätzung verwenden:

$\begin{eqnarray*} \left( 1+\frac{1}{x+1} \right)^x < \left( 1+\frac{1}{x+\frac{1}{x}} \right)^x < \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$

Gegen was streben die beiden äußeren Terme, wenn x unendlich groß wird?

Alternativ kann man auch $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{u} \end{eqnarray*}$ setzen und l'Hospital drauf loslassen.

PS: Was sucht das eigentlich in Geometrie? verwirrt

verwirrt

07.07.2008, 23:32

blub85

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Also ehrlichgesagt bin ich gerade etwas überfordert.

die methode kenne ich leider nicht

L'Hospital hab ich schon gehabt, aber so wie du an die Aufgabe herangehst kenne ich leider nicht.

und wenn ich ehrlich bin interessiert mich am meißten die Lösung.
Ich hatte nämlich heute Klausur und ich will unbedingt wissen, was da rauskommt.

Der weg dahin interessiert mich zwar auch, aber mich zerreißt es, wenn ich nicht weiß, was da rauskommt.

Danke schonmal

07.07.2008, 23:37

TyrO

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Die Funktion geht gegen 1

07.07.2008, 23:38

WebFritzi

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RE: Grenzwertproblem
Mit l'Hospital ist es ganz einfach.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} {x \cdot \ln (1 + \frac{x}{x^2+1})} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + \frac{x}{x^2+1})}{\frac{1}{x}} = \dots \end{eqnarray*}$

@TyrO: Ob das mal stimmt...

07.07.2008, 23:38

blub85

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@TyrO:

warum das?? kannst Du kurz mal deinen Gedankengang schildern.

Das wäre nett von Dir!

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07.07.2008, 23:41

WebFritzi

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Siehe mein Beitrag. Versuch es doch selber mal...

@TyrO: Gib ihm mal bitte nicht die Lösung.

07.07.2008, 23:47

blub85

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okay,

also mit l'Hospital kommt dann (wenn ich Zähler und Nenner ableite) raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-x^2}{(x^2+1)(x^2+x+1)} * (-x^2) = \frac{x^2(x^2-1)}{(x^2+1)(x^2+x+)} \end{eqnarray*}$

soweit stimmt das oder?!

wie komme ich dann weiter?!?

danke!

07.07.2008, 23:55

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} = \frac{x^2}{x^2+1}\cdot\frac{x^2-1}{x^2+x+1} \end{eqnarray*}$

07.07.2008, 23:59

blub85

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heißt das dann, dass bei den beiden Brüchen $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ wegfällt, weil sie die gleichen exponenten haben???

07.07.2008, 23:59

TyrO

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Oder eben wie schon beschrieben :

http://upload.wikimedia.org/math/1/5/f/15f5460b0d41750d9f3f23f47e0ba5fd.png

08.07.2008, 00:02

tmo

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Wobei es da noch etwas Begründungsbedarf gibt, dass das auch für Funktionen und nicht nur für die Folge gilt.

08.07.2008, 00:02

WebFritzi

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Zitat:

Original von blub85
heißt das dann, dass bei den beiden Brüchen $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ wegfällt, weil sie die gleichen exponenten haben???

Naja, man sollte schon alles mathematisch begründen. Und beim zweiten Bruch ist das auch falsch. Kürze beide Brüche mal mit x².

08.07.2008, 00:16

blub85

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so???

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}*\frac{1-\frac{1}{x^2} }{1+ \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray*}$

08.07.2008, 00:20

WebFritzi

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Genau. Und was passiert jetzt, wenn x gegen Unendlich geht?

08.07.2008, 00:22

blub85

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ah und wenn ich das ganze jetzt gegen unendlich laufen lasse, strebt alle was x enthält gegen 0 und übrig bleibt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} = 1 \end{eqnarray*}$

08.07.2008, 00:26

WebFritzi

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Du meinst

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1}\cdot\frac{1}{1} = 1. \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

Genau!

08.07.2008, 00:37

blub85

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verdammt, ich hoffe, ich bekomme wenigstens teilpunkte

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