Stammfunktionsnachweis, Geradenermittlung, Flächeninhalt

17.04.2006, 11:29

Milchshake

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Stammfunktionsnachweis, Geradenermittlung, Flächeninhalt

Hallo,

So und nun noch mein allerletztes Problem, danach seit ihr mich erstmal los! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für jede Reele Zahl k ungleich 0 ist eine Fuktion $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} f_k(x) = - \frac{1}{kx} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} ln x \end{eqnarray*}$ ; x e R, x > 0 . Ihr GRaph sei $\begin{eqnarray*} G_k \end{eqnarray*}$

Edit: zwischen \frac und den geschweiften Klammern war ´ne Lücke. Hab´s verbessert.

Weisen Sie nach, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} F_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F_k = - \frac {1}{2k} * (ln x)^2 \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion der Funktion $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ ist.

Ermitteln Sie die Gleichung der geraden $\begin{eqnarray*} g_k \end{eqnarray*}$ , die durch die Punkte P (1/0) und $\begin{eqnarray*} Q_k ( e/ \frac {-1}{ke}) \end{eqnarray*}$ ; k ungleich 0 , verläuft. Diese Gerade $\begin{eqnarray*} g_k \end{eqnarray*}$ schließt mit dem Graph $\begin{eqnarray*} _k \end{eqnarray*}$ eine Fläche ein.Berechne Sie den Inhalt $\begin{eqnarray*} A (k) \end{eqnarray*}$ dieser Fläche.

Also das wäre nun eine Gerade. Wenn ich also die Koordinaten in den term einsetzte bekomme ich

0 = $\begin{eqnarray*} - \frac {1}{2k} * (ln 1)^2 \end{eqnarray*}$

Aber das hilft mir doch nicht weiter, weil $\begin{eqnarray*} (ln 1) ^2 =0 \end{eqnarray*}$ ist.
Uns omit alles Null wird!

17.04.2006, 11:40

Bjoern1982

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In diese Funktion musst du die Koordinaten des Punktes (1/0) nicht einsetzen.

Die Gleichung der Geradenschar $\begin{eqnarray*} g_k \end{eqnarray*}$ ist unabhängig von der Funktionenschar $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$

Gruß Björn

17.04.2006, 11:45

phi

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Hallo,

naja, stimmt ja auch, es ist ja P(x,y)=P (1/0) .

Was als erstes zu tun ist, ist entweder die f'(x) zu integrieren, oder F(x) ableiten, um nachzuweisen das F tatsächlich die Stammfunktion von f ist.

Als nächstes definierst du die Gradengleichung durch eine lineare Funktion g(x)=mx+b. Die Steigung m berechnet sich nach

$\begin{eqnarray*} m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P} \end{eqnarray*}$

und wie bestimmt man das b ?

mfg, phi

17.04.2006, 11:49

Milchshake

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Was soll das denn für eine Gerade sein? Ist irgendwie ne blöde Aufgabenstellung, naja...

Also ich hab 2 Punkte der Geraden gegeben, welche unabhängig von $\begin{eqnarray*} f_k(x) \end{eqnarray*}$ ist.

Die Ganze aAufgabe ist eine einzig Sackgasse, das ergibt für mich keinen Sinn. Wo ist der Unterschied zwischen der Geraden $\begin{eqnarray*} g_k \end{eqnarray*}$ und den Graph $\begin{eqnarray*} G_K \end{eqnarray*}$ ? Ist doch das Selbe!

17.04.2006, 11:52

Lazarus

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Der Graph $\begin{eqnarray*} G_k \end{eqnarray*}$ ist der graph der funktion $\begin{eqnarray*} f_K \end{eqnarray*}$ .

die gerade $\begin{eqnarray*} g_K \end{eqnarray*}$ ist die geradenschar für die gesuchten punkte.

zugegebenermaßen ist die bezeichnung aber denkbar ungünstig gewählt.
[edit: hatte mich verlesen, daher bisschen edditiert]

17.04.2006, 11:53

Bjoern1982

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Der Graph $\begin{eqnarray*} G_k \end{eqnarray*}$ ist doch der Graph von $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$

Ok, ich lass den Moderatoren mal ne Vortritt smile

smile

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17.04.2006, 11:53

Milchshake

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Vielen Dank Phi,

Wenn ich mich nicht vertan habe wäre dann $\begin{eqnarray*} m =- \frac {1}{ke^2-ke} \end{eqnarray*}$

Und b bekomm ich raus in dem ich m,y und x in die Gleichung einsetzte und nach b umstelle. Ist m richtig?

EDIT: Danke für die Erklärung!

17.04.2006, 11:56

phi

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Milkshake, jetzt verwirrst du mich; du arbeitest seit Wochen an der gleichen Funktionsschar, die eine wellige, gekrümmte Kurvenschar als Graph hat, und behauptest nun diese Kurvenschar wäre eine Geradenschar ?!

Schau dir doch noch mal die Schar im anderen Thread an. Und mach eine Skizze, und verbinde P und Q mit einer geraden Linie.

Und wie du die Steigung dieser Geradenschar bestimmst hab ich ja schon verraten... P bleibt immer gleich und Q hängt von k ab. Aber die Verbindung bleibt immer eine Gerade.

Edit: Sorry, du hattest wohl meine letzte Post und die anderen noch nicht gelesen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit 2: m ist richtig. kann noch vereinfacht werden zu

$\begin{eqnarray*} m = \frac {1}{ke-ke^2} \end{eqnarray*}$

mfg, phi

17.04.2006, 12:06

Milchshake

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Joa mein Mathematisches verständinis hält sich eben in Grenzen ! traurig

traurig

hab nun für b $\begin{eqnarray*} \frac {1}{ke^2-ke} \end{eqnarray*}$ heraus.

So das die ganze Funktion der Geraden

y = - $\begin{eqnarray*} \frac {1}{ke^2-ke} \end{eqnarray*}$ x + $\begin{eqnarray*} \frac {1}{ke^2-ke} \end{eqnarray*}$ sein würde! Sieht aber irgendwie komisch aus!

Stimmt das?

17.04.2006, 12:50

Bjoern1982

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Müsste stimmen.

Mit welchem Graphen soll denn jetzt $\begin{eqnarray*} g_k \end{eqnarray*}$ eine Fläche einschließen?

Kann man in deiner Aufgabe nicht erkennen.

17.04.2006, 12:58

Milchshake

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Cool , danke!

Ähm auf dem Aufgabenblatt ist noch der Graph $\begin{eqnarray*} G_{0,2} \end{eqnarray*}$ abgebildet.

Text:

Die Abbildung zeigt den Graph $\begin{eqnarray*} G_{0,2} \end{eqnarray*}$ de Funktion
$\begin{eqnarray*} f_{0,2}(x) = - \frac {5}{x} \cdot ln x \end{eqnarray*}$

Soll das was damit zu tun haben? Ansonsten erkenne ich da auch kein Zusammenhang!

17.04.2006, 13:01

phi

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Ja, das stimmt, wobei du noch die Vorzeichen vereinfachen kannst:

$\begin{eqnarray*} y =g_k(x) = \frac {1}{ke-ke^2} x - \frac {1}{ke-ke^2} \end{eqnarray*}$

Für k=-0.16 hab ich mal ´ne exemplarische Skizze gemacht:

Die gk´s sind nix anderes als die Verbindungen zwischen Nullstellen und Extremstellen der Gk´s

Du musst nun die Fläche(n) zwischen gk und Gk berechnen, also gk integrieren und von F abziehen.

(Fläche zwischen blaue und rote Graphen)

mfg, phi

17.04.2006, 13:16

Milchshake

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Gut jetzt bin ich noch mehr am Sack, weil ich noch nie was über Integralrechnung gelernt hab, kommt erst nach den Ferien dran, da muss ich die Arbeit aber schon abgeben! traurig

traurig

Da muss ich jetzt wohl durch! traurig

traurig

17.04.2006, 13:26

phi

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Geht auch ohne.

Die Punkte (1;0), (e;0), (e;fk(e)) bilden doch Dreiecke, und F(x) hast du ja schon gegeben (durch Ableiten zeigen das es Stammfunktion von f ist).

Also [F(e)-F(1)] minus Dreiecksfläche....

mfg, phi

17.04.2006, 13:45

Milchshake

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Aja also

$\begin{eqnarray*} F_k (e) = \frac {1}{2k} \cdot (ln e)^2 = \frac {1}{2k} \cdot (1) = \frac {1}{2k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_k (1) = \frac {1}{2k} \cdot (ln 1)^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_0 = \frac {1}{2} a \cdot b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = -\frac {1}{ke} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_o = \frac {1}{2} \cdot e \cdot (-\frac {1}{ke}) = -\frac {1}{2k} \end{eqnarray*}$

17.04.2006, 15:51

phi

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Das ist schon ganz gut, es wird alles ganz einfach; Nur a stimmt noch nicht ganz: a=e-1 (sonst wäre die Fläche ja immer Null, was laut Graph nicht sein kann)

Aber das Prinzip hast du verstanden.

mfg

http://www.world-of-smilies.com/html/images/smilies/ostern/ostern_97.gif

18.04.2006, 10:40

Milchshake

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Also hab nun

$\begin{eqnarray*} A_o = \frac {e}{2ke} + \frac {1}{2ke} = \frac {e+1}{2ke} \end{eqnarray*}$ heraus.

$\begin{eqnarray*} [F(e) - [ F(1)] - A_o \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{2k} - ( \frac {e+1}{2ke}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {e}{2ke} - (\frac{ e+1}{2ke}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -\frac {1}{2ke} \end{eqnarray*}$

So wie ich mich kenne ist ebim Gleichnamigmachen ein fehler unterlaufen...??

18.04.2006, 11:20

Milchshake

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Du sagtest, wenn ich $\begin{eqnarray*} F_k(x) \end{eqnarray*}$ ableite knn ich nachweißen das sie eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .

So beim ableiten stell cih aber grad fest, das die Ableitung $\begin{eqnarray*} F_k'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Der erste Faktor wird doch Null, da ich ja nach x ableite und nicht nach k. Oder sehe ich das falsch??

18.04.2006, 19:28

phi

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Der Abstand zwischen (1,0) und (e,0) ist doch e minus 1 . Prüfe deine Rechnungen möglichst immer an deiner Skizze.

Wie war dein Rechenweg beim Ableiten von Fk ? Ist wohl was mit der Kettenregel schiefgelaufen.

mfg, phi

20.04.2006, 14:15

Milchshake

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Zitat:

Original von Milchshake
Aja also

$\begin{eqnarray*} F_k (e) = \frac {1}{2k} \cdot (ln e)^2 = \frac {1}{2k} \cdot (1) = \frac {1}{2k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_k (1) = \frac {1}{2k} \cdot (ln 1)^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_0 = \frac {1}{2} a \cdot b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = -\frac {1}{ke} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_o = \frac {1}{2} \cdot e \cdot (-\frac {1}{ke}) = -\frac {1}{2k} \end{eqnarray*}$

Also war das soweit schon richtung nur eben das ich a falsch eingesetzt habe!

Also ist $\begin{eqnarray*} A_o = \frac {e-1}{2ke} \end{eqnarray*}$ ??

20.04.2006, 20:17

phi

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Yep, ansonsten tadellos!

Fehlt nur noch die korrekte Anwendung der Kettenregel auf Fk.

mfg, phi

21.04.2006, 11:35

Milchshake

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Eigentlich liegt doch nur der Fehler dabei das ich $\begin{eqnarray*} (ln x)^2 \end{eqnarray*}$ falsch abgeleitet habe.

Also inner mal äußere Ableitung macht $\begin{eqnarray*} 2 ( \frac {1}{x} ) = \frac {2}{x} \end{eqnarray*}$

Oder habe ich an anderer Stelle auch einen Fehler gemacht?

Also dürfte fann

$\begin{eqnarray*} F_k' = \frac {1}{4k^2x} \end{eqnarray*}$ sein??

21.04.2006, 11:42

Grand

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Da läuft was schief bei der äußeren Ableitung.

$\begin{eqnarray*} f(x) = x² f'(x) = 2x \end{eqnarray*}$

Da fällt doch das x auch nicht einfach weg.

genauso hier

$\begin{eqnarray*} f(x) = [ln(x)]² f'(x) = 2*[ln(x)]*1/x \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

greets

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