Integralkriterium

17.04.2006, 13:11

k_wolt

Integralkriterium

Hallihallo,
kann mir jemand helfen, ich schaffe das nicht allein?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=73}^\infty ~ \frac{1}{k ln(k)} \end{eqnarray*}$

Hier soll mit dem Integralkriteriums die Konvergenz untersucht werden Hilfe

17.04.2006, 13:21

phi

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moin, moin, frohe ostern,

Meistens fällt einem die Lösung dabei ein, wenn man einfach mal die Definition erstmal hinschreibt....

Du brauchst einfach nur zu prüfen ob das uneigentliche Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{73}^\infty \frac{1}{x ln(x)} dx \end{eqnarray*}$

definiert ist.

Und mach mal einen Plot mit unserem Plotter.

mfg, phi

17.04.2006, 13:34

k_wolt

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also die Def. ist nicht mit in der Aufgabenstellung

Zitat:

Und mach mal einen Plot mit unserem Plotter

Wiebitte?

17.04.2006, 15:24

phi

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Es gehört ja grade zur jeder Aufgabe, die zugehörigen Definitionen ausfindig zu machen, in deinem Skript, im Buch oder im Internet (z.B. Wikipedia).

Es geht also darum exakt sagen zu können was denn das "Integralkriterium" genau ist. Also welche Vorraussetzungen und welche Folgerungen bestehen.

Nun hab ich dir die Definition eigentlich aber schon gesagt: Die Reihe konvergiert genau dann, wenn das dazugehörige Integral endlich ist.

Zum Plotten=Graph zeichnen, gibt es über dem Antwort-Schreibfeld so en kleinen Knopf mit nem Graphen...

oder als CODE:

code:
1:	[plot=0:100,0:1]1/(x*log(x))[/plot]

...sieht schonmal sehr endlich aus, kann aber auch täuschen. Deshalb versuche die Integration auszuführen, indem du bemerkst, dass im Zähler die Ableitung des Zählers steht.

mfg, phi

17.04.2006, 15:54

k_wolt

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danke, aber noch eine Frage:
da das Integral nicht endlich ist, müsste die Reihe divergieren. Aber der Graph ist doch eindeutig konvergent ?!?

17.04.2006, 16:00

phi

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Du meinst sicher , dass der Definitionsbereich nicht endlich ist. Das Integral selbst kann sehr wohl endlich sein.

Bedenke das beliebte Einführungsbeispiel:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^\infty \frac{1}{x^2 } dx =[-\frac{1}{x }]_{1}^\infty =-\frac{1}{\infty}-- \frac{1}{1} =0+1=1 \end{eqnarray*}$

mfg, phi

17.04.2006, 16:10

k_wolt

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finde ich sehr nett von Dir, danke.

17.04.2006, 17:42

phi

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Bittschön,

aber wie gesagt, die Optik allein kann täuschen, hast die Stammfunktion bestimmen können mithilfe der logarithmischen Ableitung ?

Betracht dazu

$\begin{eqnarray*} \int_{73}^\infty \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{ ln(x)} dx \end{eqnarray*}$

mfg

17.04.2006, 19:20

k_wolt

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ich komme auf die Stammfunktion: log x mit der Basis x
und damit ergibt mein Integral = 0

17.04.2006, 19:29

phi

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Aber wie erklärst du dann oben die positive Fläche die nicht 0 ist ?

Die Definition der log. Ableitung lautet doch

$\begin{eqnarray*} (\ln f)' =\frac{f'}{f} \end{eqnarray*}$

Edit: Ableitungsstrich korrigiert

wobei in unserem Fall f selbst die natürliche Logarithmus-Funktion ist:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \ln x \end{eqnarray*}$

Also, wie muss die Stammfunktion lauten ?

mfg

17.04.2006, 19:45

k_wolt

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vielleicht ln ( 1/x ) ? Und komme auf: $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } |ln \frac{1}{a} - ln \frac{1}{73}|=ln \frac{1}{73} \end{eqnarray*}$

17.04.2006, 20:01

phi

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Ich hab oben den Ableitungs-Strich falsch plaziert, richtig heißt es

$\begin{eqnarray*} (\ln f)' =\frac{f'}{f} \end{eqnarray*}$

Also, wenn f(x)=ln(x) ist, dann ist ln(f)=ln(ln(x)).

Damit konvergiert das Integral also doch nicht.

mfg, phi

17.04.2006, 20:11

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ich habe mich auch schon die ganze Zeit gewundert. Deine Bilder haben mich verwirrt. Augenzwinkern