Bildmaß

17.04.2006, 15:36

PsychoCat

Bildmaß

Ich habe ein relativ einfaches Problem wie ich glaube, aber verstehe nicht ganz mein Vorlesungsskript.
Ich habe also ein Wahrscheinlichkeitsmaß P mit Verteilungsfunktion F und Lebesgue-Dichte f und dazu eine Abbildung T und möchte nun die Verteilungsfunktion und Dichte des Bildmaßes T(P) bestimmen. Was mach ich da?

Zum Beispiel wenn T(x):=|x|
Erstmal würde mich logisches Überlegen zu dem Schluss bringen, dass das F und f nicht verändert, weil T(P)=|P| wäre und P ja >=0 ist..
Nach Transformationssatz gilt aber $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~f~dT(P)= \int_{}^{}~f(T)~dP \end{eqnarray*}$ und das hieße ja wenn f' Dichte von T(P) ist, f'(x)=f(|x|) oder? Ich glaub ich mache da irgendwas grundlegend falsch Hammer

17.04.2006, 22:23

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Ist $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} F_T \end{eqnarray*}$ diejenige des transformierten Maßes $\begin{eqnarray*} T(P) \end{eqnarray*}$ , dann gilt einfach

$\begin{eqnarray*} F_T(x) = T(P)((-\infty,x)) = P(T^{-1}(-\infty,x))\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Weitere Vereinfachungen erfordern zusätzliche Informationen über $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ . Ist es z.B. stetig und streng monoton wachsend und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Wertebereich von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} F_T(x)=P(T^{-1}(-\infty,x))=P((-\infty,T^{-1}(x)) = F(T^{-1}(x)) \end{eqnarray*}$ .

Bei $\begin{eqnarray*} T(x)=|x| \end{eqnarray*}$ ist diese Voraussetzung aber nicht erfüllt. Für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ kann man hier aber schließen:

$\begin{eqnarray*} F_T(x) = P(T^{-1}(-\infty,x)) = P((-x,x)) = F(x)-F(-x+0) \end{eqnarray*}$ (das +0 steht für rechtsseitiger Grenzwert).

Ist $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ stetig, wird daraus $\begin{eqnarray*} F_T(x) = F(x)-F(-x) \end{eqnarray*}$ , im absolutstetigen Fall kann man dann auch die Dichte berechnen:

$\begin{eqnarray*} f_T(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_T(x) = F'(x)-F'(-x)\cdot(-1) = f(x)+f(-x) \end{eqnarray*}$

Aber für allgemeines $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ bleibt einem kaum mehr als Darstellung (*).

18.04.2006, 01:04

Jim Pansen

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Hmm, man kann doch im Bsp.
$\begin{eqnarray*} T(x)=\mid x \mid \end{eqnarray*}$
die Verteilungsfunktion auch für
$\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$
angeben. Mein Ansatz wäre:
$\begin{eqnarray*} P(T(X)\in (\infty ,x])=P(\mid X \mid \in (-\infty ,x])=\begin{pmatrix} F(x)-F(-x) , falls x\geq 0 \\ 0 , falls x=0 \\ 0 , falls x<0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
wobei X reelle ZV mit Verteilungsfunktion F, bzw. Verteilung P (das ist hier ja eigentlich schon das Bildmaß von einem W-Maß unter X).

Allgemeine Def. für Bildmaß = Verteilung der messbaren ZV T ist:
$\begin{eqnarray*} P_{T}(B)= P(T\in B) \end{eqnarray*}$ für alle messbaren Mengen B

18.04.2006, 07:21

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Ich hab nur deswegen ausschließlich den Fall $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ betrachtet, weil $\begin{eqnarray*} F_T(x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ sowieso klar ist.

Bei nochmaligen Durchlesen meines Beitrags könnte aber tatsächlich der Eindruck entstehen, als könnte man für $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ nichts berechnen. Gut, dass du das korrigiert hast. Augenzwinkern

18.04.2006, 12:23

Jim Pansen

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Jo, hast Recht.
Hab beim ersten mal Lesen nicht gecheckt, dass Du es auch so meinst.

Hab noch ne Frage zur Existenz einer Dichte eines Bildmaßes:

I.A. kann man doch in der Situation, die von PsychoCat beschrieben wurde, nicht davon ausgehen, dass das Bildmaß eine Dichte besitzt, oder?
Ist das Bildmaß eines W-Maßes, welches eine Lebesgue Dichte besitzt, stetig bezgl. des Lebesgue Maß (Stichwort Satz von Radon-Nikodym)?
Hätte dann das Bildmaß auch automatisch eine Lebesgue Dichte? verwirrt

18.04.2006, 13:28

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Nein, ist es nicht: Nimm doch einfach die Abbildung $\begin{eqnarray*} T(x)=0 \end{eqnarray*}$ , dann ist das Bildmaß einfach eine Einpunktverteilung, d.h. $\begin{eqnarray*} T(P)(\{0\})=1 \end{eqnarray*}$ , egal welches W-Maß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ dem zugrunde liegt.

18.04.2006, 13:54

Jim Pansen

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Ja stimmt, hatte mir gerade ein ähnliches Beispiel überlegt. Warst aber schneller.

Um von einer Dichte für das Bildmaß ausgehen zu können, müsste dann doch für jede P-Nullmenge A auch $\begin{eqnarray*} T^{-1} (A) \end{eqnarray*}$
eine P-Nullmenge sein (falls T vom Ergebnisraum in denselben Ergebnisraum abbildet).
Das würde ja z.B. für eine bijektive messbare Abb. gelten.
Dann existiert nach Radon Nikodym eine Dichte g für das Bildmaß von P unter T bezgl. P.
Falls also P Dichte f bezgl. Lebsgue Maß besitzt, müsste doch auch das Bildmaß von P unter T eine Lebesgue Dichte besitzen; nämlich f*g, oder?

18.04.2006, 14:20

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Zitat:

Original von Jim Pansen
Das würde ja z.B. für eine bijektive messbare Abb. gelten.

Meinst du für jede bijektive Abbildung?

Bist du dir da sicher? Ich denke da an so Konstruktionen wie die Cantorsche Funktion (Ok, die ist nicht bijektiv, aber was draus abgeleitetes), die diese Annahme widerlegen.

18.04.2006, 15:08

Jim Pansen

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bin mir nicht sicher.

verwirrt

Konstruktion mit Cantor Funktion...? ist mir ein bißchen zu hoch. verwirrt

Habe gerade den Trafosatz für Dichten gefunden. Der besagt, dass im Fall einer bijektiven messbaren Abb. T, deren Umkehrabb. messbar ist, eine Dichte für das Bildmaß existiert (wenn $\begin{eqnarray*} P=f\lambda \end{eqnarray*}$ ):
$\begin{eqnarray*} T(P)=(f\cdot T^{-1})T( \lambda ) \end{eqnarray*}$
Allerdings ist $\begin{eqnarray*} T( \lambda ) \end{eqnarray*}$ i.A. schwierig zu bestimmen. (Es gibt Formel, wenn T Diffeomorphismus. Dann hat T(P) auch Lebesgue Dichte.)
D.h. also $\begin{eqnarray*} T(P) \end{eqnarray*}$ besitzt eine Dichte bezgl. $\begin{eqnarray*} T( \lambda ) \end{eqnarray*}$ , aber nicht unbedingt eine Lebesgue Dichte. Richtig?
Allerdings versteh ich nicht so ganz, was an meiner vorherigen Überlegung falsch sein soll. Bei Vor. wie oben:
Aus $\begin{eqnarray*} P=f\lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T(P)=gP \end{eqnarray*}$ folgt doch $\begin{eqnarray*} T(P)=gf\lambda \end{eqnarray*}$

der Pansen

18.04.2006, 15:39

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Ok, die folgende Transformation aufbauend auf der Cantorfunktion ist zwar nicht bijektiv, aber zumindest injektiv:

Für $\begin{eqnarray*} 0\leq x<1 \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} x = \sum_{k=1}^{\infty} ~ a_k 2^{-k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k\in\{0,1\} \end{eqnarray*}$ betrachtet (keine Einser-Periode zulassen wg. Eindeutigkeit), und auf $\begin{eqnarray*} T(x) = \sum_{k=1}^{\infty} ~ 2a_k 3^{-k} \end{eqnarray*}$ abgebildet. Für alle anderen reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sein $\begin{eqnarray*} T(x)=x \end{eqnarray*}$

Dann gilt für die Cantor-Menge $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ , die bekanntlich Lebesgue-Maß 0 hat, die Beziehung $\begin{eqnarray*} T^{-1}(C)=[0,1] \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} T(P) \end{eqnarray*}$ nicht absolutstetig bezüglich des Lebesgue-Maßes.

Ich bin mir eigentlich sicher, dass man mit üblichen Konstruktionen (ich bin da nur nicht so firm) daraus auch ein bijektives $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ basteln kann.

Wenn $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ zusätzlich (zumindest stückweise) stetig, oder gar differenzierbar ist, habe ich keine Einwände gegen deine Aussage. Ich wollte ja auch nur sagen, dass ich Messbarkeit allein als eine unzureichende Voraussetzung dafür halte, dass aus der Absolutstetigkeit von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ diejenige von $\begin{eqnarray*} T(P) \end{eqnarray*}$ folgen soll.

18.04.2006, 16:04

Jim Pansen

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Ja stimmt. Das Urbild einer P-Nullmenge unter einer bijektiven messbaren Abb. muß ja nicht wieder eine P-Nullmenge sein. Hammer

Sonst würde es ja den Trafosatz auch nicht in dieser allgemeinen From geben. Augenzwinkern

Zumindest ist mein Gedankengang nicht ganz falsch, wenn man die Stetigkeit des Bildmaßes bezgl. P voraussetzt.

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