Ebenenscharen

17.04.2006, 16:44

DerEierMann

Ebenenscharen

Moin

Ich übe gerade für meine Abiprüfungen und ich bin auf ein Problem gestoßen, zudem mir kein wirklicher Lösungsansatz einfällt.

Gegegen ist die Ebenenschar
$\begin{eqnarray*} E_k:kx+3y=3 \end{eqnarray*}$

Zeige, dass alle Ebenen von $\begin{eqnarray*} E_k \end{eqnarray*}$ eine Gerade g1 gemeinsam haben!

Das ist eigentlich mein Ausgangsproblem. Ich habe mir folgendes dazu überlegt:
-Die Ebenen müssen quasi um diese Gerade rotieren. D.h , dass ein Richtungsvektor der Ebene in Parameterform kein k enthalten soll. Das ist aber kein mathematischer Beweis.
-Ich lege fest $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ und Zeige, dass die beiden eine gemeinsame Gerade haben. Das zeigt aber nicht, dass ALLE Ebenen von $\begin{eqnarray*} E_k \end{eqnarray*}$ diese gemeinsame Gerade haben.

Über einen Ansatz wär ich euch sehr dankbar smile

17.04.2006, 16:49

Dual Space

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RE: Ebenenscharen
Alternativ könntest du auch zeigen, dass alle Ebenen $\begin{eqnarray*} E_k \end{eqnarray*}$ der Schar die Gerade $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ gemeinsam haben.

17.04.2006, 16:50

Bjoern1982

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Wähle statt $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ allgemeine Ebenen $\begin{eqnarray*} E_r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_s \end{eqnarray*}$

Gruß Björn

17.04.2006, 16:52

Poff

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RE: Ebenenscharen
Zwei Ebenen frei auswählen, Schnittgerade bestimmen und dann
zeigen dass die gefundene Gerade in ALLEN Ebeben drin ist.

17.04.2006, 16:53

incass

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Stelle 2 Ebenen explizit auf, berechne die Schnittgerade und zeige, dass diese Schnittgerade in jeder Ebene liegt. Etwa so:

2x + 3 y = 3
y = 1
-----------

y = 1

z = t

2x + 3 = 3
x = 0

Gerade: xvec = [0,1,0] + t [0,0,1]

g in E:

k*0 + 3 = 3
3 = 3

erfüllt

17.04.2006, 17:00

Dual Space

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incass: Darf ich dich dezent auf die Verhaltensregeln für Helfer hinweisen? Insbesondere bei Punkt 2 wird erklärt, warum wir hier nicht einfach nur Musterlösungen präsentieren wollen.

17.04.2006, 17:01

marci_

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ich empfehle dir deinen 2. weg..
zb: mit 0 und 1

allgemein mit R und S wirds halt ein bisschen komplizierter...

17.04.2006, 17:11

incass

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okay, jedoch finde ich gibt es einige Fälle, wo es sehr hilfreich ist, anhand des Lösungsweges alles zu erklären !

17.04.2006, 20:39

.seb.

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RE: Ebenenscharen

Zitat:

Original von DerEierMann
Moin

Ich übe gerade für meine Abiprüfungen und ich bin auf ein Problem gestoßen, zudem mir kein wirklicher Lösungsansatz einfällt.

Gegegen ist die Ebenenschar
$\begin{eqnarray*} E_k:kx+3y=3 \end{eqnarray*}$

Zeige, dass alle Ebenen von $\begin{eqnarray*} E_k \end{eqnarray*}$ eine Gerade g1 gemeinsam haben!

Das ist eigentlich mein Ausgangsproblem. Ich habe mir folgendes dazu überlegt:
-Die Ebenen müssen quasi um diese Gerade rotieren. D.h , dass ein Richtungsvektor der Ebene in Parameterform kein k enthalten soll. Das ist aber kein mathematischer Beweis.
-Ich lege fest $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ und Zeige, dass die beiden eine gemeinsame Gerade haben. Das zeigt aber nicht, dass ALLE Ebenen von $\begin{eqnarray*} E_k \end{eqnarray*}$ diese gemeinsame Gerade haben.

Über einen Ansatz wär ich euch sehr dankbar smile

ng: x= (1 3 0)+k ( 1 0 0)

(1 3 0) x (1 0 0) = ( 0 0 -1)
((1 3 0) + (1 0 0))*(x y z) = 3
2x+3y=3; OP(0/1/0)

g1:= (0 1 0)+ r (0 0 -1)

(ist einfacher, hab ich mir aber selbst zusammengedacht Augenzwinkern

)

17.04.2006, 20:53

AmelieS.

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Hallo,
kann man nicht auch einfach zeigen, dass $\begin{eqnarray*} E_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_{k+1} \end{eqnarray*}$ sich in einer Geraden schneiden?

17.04.2006, 21:11

Poff

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Klar kannst du das, nur musst dabei mit herausstellen dass
die Löung unabhängig von k dargestellt werden kann.

Das k muss sich aus der Geraden eliminieren lassen.

Hallo,
kann man nicht auch einfach zeigen, dass und sich in einer Geraden schneiden?

das gilt für nahezu alle Ebenenpaare, dass sie sich in einer Geraden
schneiden. Damits langt, muss deshalb das k aus dem Schnitt raus.

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