Bestimmen einer Lipschitz-Konstanten

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen einer Lipschitz-Konstanten
Hallo zusammen. Folgende Musterlösung kann ich gerade nicht nachvollziehen. Wer hilft mir? Augenzwinkern

Gegeben ist die Funktion





Die zugehörige Jacobi-Matrix lautet:



Nun soll für F' eine Lipschitzkonstante bezüglich der Maximumsnorm gefunden werden. Dies geschieht wie folgt:




Die zweite Abschätzung ist für mich durch die Wertemenge von sin und cos einsichtig, mit der ersten (*) habe ich so meine Probleme.

Wink tigerbine
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke das kann so begründen:
Du jast deine Jacobimatrix . Diese wirkt als linearer Operator auf den Vektor . Damit:


Siehe auch hier.
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also irgenwie hab ich da noch einen Knoten im Hirn (Hoffentlich kein gordischer Forum Kloppe )

Also es ist die Jabcoimatrix eine Lineare Abbildung und als solche auch ein Linearer Operator. Nur hat sie halt noch "Das X drin" im Gegensatz zu einer Matrix A mit z.B. nur reellen Einträgen. Und genau da hakt es gerade bei mir.

Gehen wir vielleicht gerade mal in den Wiki-Link. "Es sei A eine reelle ..." Wie würde dann der Operator T aussehen? A oder Ax?
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Edit2: Sorry, bin heute wieder total verwirrt.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tomtomtomtom
Jedenfalls hast du für jeden Vektor, den du in die Ableitung einsetzt, eine MAtrix, die du als lineare Abbildung interpretieren kannst

Soweit komme ich noch mit.

Zitat:
Diese wirkt auf einen weiteren Vektor, den du dahinterschreibst, so wie eine Matrix halt als lineare Abbildung wirkt.

Auch hier bin ich noch dabei.

Zitat:
Für jeden Punkt, an dem du Ableitung bildest, hast du zwar nun eine andere lineare Abbildung, aber du kannst erstmal die Norm jeder dieser Abbildungen bestimmen/abschätzen, und dann nochmal gegen das Maximum all dieser Normen abschätzen.


Wurde dass denn in der (*) Abschätzung gemacht? verwirrt Da steht ja im Grunde



Und mit diesem Herausziehen von komme ich nicht klar.

Danke schon mal an Euch, ich glaube ich habe hier einfach zu viele Leitungen liegen, auf denen ich stehe.
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub mittlerweile, das stimmt so einfach nicht, und derjenige der dei musterlösung erstellt hat, hat auch denselben Fehler gemacht, zu glauben die lineare Abbildung wirkt auf die X.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir einmal in den klassischen Fall gehen, nehmen wir g: IR -> IR und wir wollen auf Lipschitz-Stetigkeit untersuchen. Dann wäre ja der Ansatz, den Mittelwertsatz der Differentialrechnung zu verwenden. Im Falle einer beschränkten Ableitungsfunktion würden wir eine gesuchte Konstante wie folgt finden:




Ich dachte nun zunächst, dass dieser Ansatz auch hier verfolgt würde. Nur ist hier ja g:=F'(X). wie würde denn g' hier aussehen?

MfG Wink
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt der Satz:
Zitat:
Seien normierte -Vektorräume, eine lineare Abbildung, dann gilt:
stetig gilt

[aus dem Forster]

Dann gibt es das Corollar:
Zitat:
Es gilt:
für jedes in .

[auch aus Forster]

Das Corollar ist genau das was du auch geschrieben hast, aber hier kommt deine Matrix direkt gleich vor, wenn du setzt smile
Ausserdem:


Das wollte ich benutzen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Den Forster habe ich nicht. Da müsste man jetzt noch wissen, was mit



gemeint ist. So wie ich es im Moment sehe, ist das eine andere Schreibweise für das Matrix-Vektorprodukt Ax. Und das ist auch gerade der Knackpunkt, bezüglich deiner letzten Zeile. Denn ich sehe bei der Jacobimatrix nicht, wie gelten soll



Das (X) heiß für mich, dass in der Matrix A die Einträge von X abhängen, nicht das man ein Matrix-Vektorprodukt bildet.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

@system-agent: Ich glaub so wird das nichts.

Die Behauptung lautet doch im Wesentlichen



wobei x,y natürlich 2 dim. Vektoren sind und D den Differentialoperator bezeichnet. Nun siehst du, dass zwar D linear ist, F hingegen nicht und somit DF schon gar nicht.

@tigerbine: Der Mittelwertsatz gilt mit den gegebenen Dimensionen in dieser Form nicht (siehe hier, Abschnitt 6).
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Dual Wink

wie komme ich denn dann an die Lipschitz-Konstante ran?
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß ich leider auch (noch) nicht. Ist es dringend?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Mittelfristig dringend Big Laugh Das ganze tritt im Zusammenhang mit Fixpunktiterationen und Newton-Verfahren im Mehrdimensionalen auf. Und an dieser Stelle hänge ich nun, wie man eben dort das "L" bestimmt, da ich diese Musterlösung nicht verstehe.

Vor Ort fragen kann ich nicht, ist alles nur "geklaut" (ergoogelt) Augenzwinkern

Wäre schön, wenn ich es im Laufe der Woche abschließen könnte. Wink
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Gib mal bitte den Link zur Originalquelle.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Habs nur als PDF. Augenzwinkern
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen einer Lipschitz-Konstanten
Mein Vorschlag:

Zur Erinnerung: . Gesucht ist die Lipschitzkonstante bzgl. der Maximumsnorm. Seien also , dann




Edit: Der Umweg über das Skalarprodukt war nicht nur unnötig, sondern auch falsch. Hammer
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen einer Lipschitz-Konstanten
Danke, dass Du den Weg für mich gegangen bist. Wir finden zwar hier auch die Konstante L=3, aber es ist bei weitem nicht so einfach wie die Musterlösung es vorgibt.

Kennt jemand weitere Beispielaufgaben? Der ganze "Ärger" tritt im Grunde dann auf, wenn für ein (nichtlineares System) eine Nullstelle bestimmt werden soll. Nun lautet ein Satz, dass im Falle der lokalen Lipschitzstetigkeit von F' die Konvergenzrate quadratisch ist. Soweit so gut. Leider verrät dieser Satz eben nicht, wie man L in diesem Fall bestimm.t Dumm nur, wenn in einer Klausur - wie der hier verlinkten - danach gefragt wird.Augenzwinkern

Im eindimensionalen hätte man doch versucht, den Mittelwertsatz der Differentialrechnung anzusetzen. Den hast du doch hier im Grunde in Zeile 3 auch benutzt, oder?

Wink
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen einer Lipschitz-Konstanten
Zitat:
Original von tigerbine
Wir finden zwar hier auch die Konstante L=3, aber es ist bei weitem nicht so einfach wie die Musterlösung es vorgibt.

Mmm ... eigentlich haben wir nur gezeigt, dass ist. Mehr gibt die Musterlösung aber auch nicht her.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen einer Lipschitz-Konstanten
Mmh, ja. Aber zum nachweis der Lipschitzstetigkeit reicht das doch, oder? Da müssen wir ja nicht das 'kleinste L' bestimmen. Erstaunt2
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen einer Lipschitz-Konstanten
Zitat:
Original von tigerbine
Aber zum nachweis der Lipschitzstetigkeit reicht das doch, oder?

Ja das reicht. Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen einer Lipschitz-Konstanten
Mit Zunge
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen einer Lipschitz-Konstanten
Falls jemand noch ähnliche Aufgaben (Mehrdimensional) , sei es aus Übungen oder Klausur hat, bitte her damit Wink
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