fehlstand bei permutationen

08.07.2008, 14:09	easyone	Auf diesen Beitrag antworten »
fehlstand bei permutationen hallo kann mir jemand helfen..es geht darum das signum der permutationen aufzustellen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 3 & 5 & 1 & 8 & 2 & 7 & 6 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ich habe die zyklen schon aufgestellt (1 4) (2 3 5 8 6) (7) jetzt möchte ich die Fehlstände überprüfen um zu sehen um sgn gerade oder ungerade ist mein Problem ist jetzt das ich nicht genau weiss welche Werte ich denn jeweils für die Fehlstände überprfüfen muss..woher weiss ich welche ich da genau gegeneinander überprüfen muss? im ersten zyklus ist es noch klar (1)=4 > (4)=1, aber beim zweiten zyklus blick ich niucht durch. danke schon mal im vorraus :-)
08.07.2008, 17:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst: Laß $\begin{eqnarray} (7) \end{eqnarray}$ weg, das ist nur eine merkwürdige Schreibweise für die Identität. Dann: $\begin{eqnarray} (23586) = (23)(35)(58)(86) \end{eqnarray}$ Verwende, daß das Signum $\begin{eqnarray} \operatorname{sgn} \end{eqnarray}$ ein Homomorphismus ist: $\begin{eqnarray} \operatorname{sgn}(\pi \rho) = \operatorname{sgn}(\pi) \operatorname{sgn}(\rho) \end{eqnarray}$ und beachte, daß jede Transposition das Signum $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ hat. Alternativ kannst du auch die Fehlstände zählen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 3 & 5 & 1 & 8 & 2 & 7 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 12 \end{eqnarray}$ Fehlstand (da $\begin{eqnarray} 4>3 \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} 13 \end{eqnarray}$ kein Fehlstand (da $\begin{eqnarray} 4<5 \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} 14 \end{eqnarray}$ Fehlstand (da $\begin{eqnarray} 4>1 \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} 15 \end{eqnarray}$ kein Fehlstand (da $\begin{eqnarray} 4<8 \end{eqnarray}$ ) ... $\begin{eqnarray} 78 \end{eqnarray}$ Fehlstand (da $\begin{eqnarray} 7>6 \end{eqnarray}$ )
08.07.2008, 20:28	easyone	Auf diesen Beitrag antworten »
aber wenn ich das abzähle kommen mehr als nur 5 fehlstände raus..es müssten aber glaub ich nur 5 sein
08.07.2008, 20:48	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ kannst du dir auch merken, dass ein r-Zyklus das Signum $\begin{eqnarray} (-1)^{r-1} \end{eqnarray}$ hat. Siehe hier
09.07.2008, 13:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sind 11 Fehlstände. Und therisens Bemerkung belegt auch das Beispiel hier: $\begin{eqnarray} \operatorname{sgn} \left( (23586) \right) = \operatorname{sgn} \left( (23) \right) \cdot \operatorname{sgn} \left( (35) \right) \cdot \operatorname{sgn} \left( (58) \right) \cdot \operatorname{sgn} \left( (86) \right) = (-1)^4 = 1 \end{eqnarray}$

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