Mantelfläche eines Ellipsoides

08.07.2008, 17:31	steve0	Auf diesen Beitrag antworten »
Mantelfläche eines Ellipsoides Hallo, ich komm bei folgender Aufgabe leider nicht weiter: Berechnen Sie die Oberfläche des Ellipsoides, welches durch Rotation der Ellipse mit der Gleichung X^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 um die x-Achse entsteht. Welche Oberfläche hat das Ellipsoid, welches bei Drehung der gleichen Ellipse um die y-Achse entsteht? Mein Ansatz ist folgender: für Rotation um die x-achse: y= $\begin{eqnarray} \sqrt{b^2-x^2/a^2} \end{eqnarray}$ dann habe ich step by step die formel für die Oberfläche zusammen gebracht. M= $\begin{eqnarray} 2\pi [x]_{b}^a \sqrt{1+f(x)^2} dx \end{eqnarray}$ zuerst: f´(x)= $\begin{eqnarray} 2x+b^2/(\sqrt{b^2-x^2b^2/a^2})a^4 \end{eqnarray}$ dann 1+f´(x) aber da komm ich auf einen ziemlich langen Therm... Stimmt da irgendetwas oder hab ich da richtigen schwachsinn gemacht?
09.07.2008, 16:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Formeln kann man nicht verstehen. Allein schon wegen fehlender Klammern ergeben sie keinen Sinn. Gehen wir also von einer Ellipse mit den Halbachsen $\begin{eqnarray} a,b>0 \end{eqnarray}$ aus. Mit $\begin{eqnarray} y = \frac{b}{a} \, \sqrt{a^2 - x^2} \end{eqnarray}$ gilt bei Rotation um die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse für die Oberfläche $\begin{eqnarray} M = 4 \pi \int_0^a y \, \sqrt{1 + y'^{\, 2}}~\dd x \ = \ \frac{4 \pi b}{a^2} \int_0^a \sqrt{a^4 - \left( a^2 - b^2 \right) x^2}~\dd x \end{eqnarray}$ Als Ergebnis der Integration erhält man mit den Abkürzungen $\begin{eqnarray} \varepsilon = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} \, , \ \ \text{falls} \ \ a > b \, ; \ \ \ \ \varepsilon^{} = \frac{\sqrt{b^2 - a^2}}{a} \, , \ \ \text{falls} \ \ b > a \end{eqnarray}$ die Formel $\begin{eqnarray} M = \ 2 \pi b^2 \ + \ 2 \pi a b \ \cdot \ \begin{cases} \ \frac{\arcsin \varepsilon}{\varepsilon} \ , & \text{falls} \ \ a > b \\ \ \frac{\operatorname{arsinh} \varepsilon^{}}{\varepsilon^{}} \ , & \text{falls} \ \ b > a \end{cases} \end{eqnarray}$ Die Funktionen $\begin{eqnarray} t \mapsto \frac{\arcsin t}{t} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \mapsto \frac{\operatorname{arsinh} t}{t} \end{eqnarray}$ sind beide für $\begin{eqnarray} t = 0 \end{eqnarray}$ mit Wert $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ stetig ergänzbar, wie etwa Potenzreihenentwicklungen sofort zeigen. Daher gehen beide Formeln für $\begin{eqnarray} \varepsilon \to 0 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \varepsilon^{} \to 0 \end{eqnarray}$ , was im Grenzfall $\begin{eqnarray} b = a \end{eqnarray}$ bedeutet, in die Formel für die Kugeloberfläche über: $\begin{eqnarray} M = 4 \pi a^2 \end{eqnarray}$
09.07.2008, 20:05	steve0	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, vielen danks soweit, wie geht das dann bei der Rotation um die y-Achse? Kann man da dann nur die obere Grenze a durch b ersetzen und sonst in den Formeln b mit a ersetzen, a mit b und x mit y oder ist das dann eine komplett andere Rechnung?

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