Problem mit Umkehrfunktion

17.04.2006, 21:41

tompalic

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Problem mit Umkehrfunktion

Ich hab ein Problem mit dieser Funktion:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{4x}{\sqrt{1+x^{2}}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich versuche die Umkehrfunktion zu bilden drehe ich mich einfach im Kreis traurig

traurig

Wäre echt super wenn mir jemand einen Tipp geben könnte!

Vielen Dank schonmal!

tompa

edit: Schade ich dachte grade mit quadrieren würd ich drauf kommen, hat aber auch nicht geklappt, wär also nach wie vor cool wenn jm nen Tipp für mich hätte!

doppelpost zusammengefügt (aRo)

17.04.2006, 22:08

MrPSI

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mit Quadrieren müsste das Ganze schon funktionieren.
Zeig mal deine Umformungsschritte, dann kann man sagen, was richtig ist und wo man denn weiterhelfen muss.

17.04.2006, 22:24

tompalic

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Joar der erste Schritt ist klar:

$\begin{eqnarray*} x^{2}=\frac{16 y^{2}}{1+y^{2}} \end{eqnarray*}$

Von hieran hab ich schon alles mögliche probiert, von ausklammern (so dass man nur ein $\begin{eqnarray*} \frac{1}{y^{2}} \end{eqnarray*}$ im Nenner hat) bis Ergänzung usw...

Irgendwie dreh ich mich nur noch im Kreis... traurig

traurig

17.04.2006, 22:33

MrPSI

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Mach mal den Nenner weg, danach heisst es ausmultiplizieren und wieder zusammenfassen....

17.04.2006, 22:45

tompalic

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hmm ich hab jetzt mal ein paar Schrittchen gemacht und hab auch ne Funktion raus:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{x^{2}}{16-x^2} } \end{eqnarray*}$

Allerdings verläuft die im negativen bereich nicht wie die Umkehrfunktion laufen sollte... Die ursprüngliche Funktion ist punktsymetrisch, die Umkehrfunktion sieht aus wie ne Parabel geschockt

geschockt

edit: was heißt bei dir, "den nenner wegmachen?"

edit²: Bitte, ich rechne hier jetzt schon seit knapp 2 Stunden wie ein Blöder rum! Wenn mir jemand die Umkehrfunktion sagen kann, bitte her damit!

17.04.2006, 22:51

MrPSI

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nenner weg machen, heisst bei mir, mit dem Hauptnenner multiplizieren.

soweit ist deine Formel richtig, jetzt musst du nur noch im Zähler die Wurzel ziehen. Bei Zähler und Nenner separat die Wurzel zu ziehen ist erlaubt.
Aber wie du sehen wirst, ändert das Wurzelziehen im Zähler die Funktion.

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17.04.2006, 23:04

tompalic

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Erstmal Vielen vielen Dank!

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x^{2}}}{\sqrt{16-x^2}} \end{eqnarray*}$

Die Funktion verläuft wie die Umkehrfunktion laufen sollte!

Eines irritiert mich aber noch: Die ursprüngliche Kurve hatte als Asymptote Y~3 und so hätte ich angenommen müsste die Umkehrfunktion X~3 als Asymptote haben, die Kurve oben hat aber X~4 als Asymptote, kann das sein oder ist nochwas an meiner Funktion falsch?

Gruß

Tompa

17.04.2006, 23:10

MrPSI

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die Umkehrfunktion müsste lauten $\begin{eqnarray*} y=\frac{x}{\sqrt{16-x^2}} \end{eqnarray*}$ .
Wenn man die Funktion $\begin{eqnarray*} y=\frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{16-x^2}} \end{eqnarray*}$ benutzt, so kommt aufgrund der Definition der Wurzel ein "parabelförmiger" Graph raus.

Und ich glaube du hast dich verguckt. Wenn ich die Funktion $\begin{eqnarray*} y=\frac{4x}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$ plotten lasse, so liegt die Asymptote bei Y~4.

17.04.2006, 23:34

MrPSI

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Interessant wäre vielleicht noch zu begründen, wieso gerade die Funktion $\begin{eqnarray*} y=\frac{x}{\sqrt{16-x^2}} \end{eqnarray*}$ die richtige Umkehrfunktion ist, und nicht $\begin{eqnarray*} y=\frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{16-x^2}} \end{eqnarray*}$

Mein Begründungsversuch sieht folgendermasen aus. Da die Funktion $\begin{eqnarray*} y=\frac{4x}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, muss es logischerweise auch die Umkehrfunktion sein. Und dieses Kriterium erfüllt die Funktion $\begin{eqnarray*} y=\frac{\sqrt{x^2}}{16-x^2} \end{eqnarray*}$ nun mal nicht, aufgrund der Potenz 2. Grades und der Definition der Wurzel. Also muss die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} y=\frac{x}{\sqrt{16-x^2}} \end{eqnarray*}$ lauten. Lehrer

Lehrer

Aber leider weiss ich nicht, ob diese Begründung mathematisch korrekt ist oder überhaupt stimmt, deshalb würd ich vorerst kein Vertrauen schenken.

17.04.2006, 23:57

MAX-NEUSS

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Ich weiss ja nicht ob ich doof bin, oder ob ihr euch einfach nur vertan habt aber ich habe für die umkehrfunktion folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x=y \end{eqnarray*}$

Ich plotte mal beide mal schauen ob die sich an der 1 Winkelhalbierenden Spiegeln:

und

schade, also irgendwo ist bei mir noch der wurm drin! wer weiss wo?

18.04.2006, 00:11

mYthos

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@MrPSI und MAX-NEUSS

Ihr betrachtet allg. statt einer Funktion deren Quadrat - und das kann doch nicht das Gleiche sein!

Die Umkehrfunktion ist
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x}{\sqrt{16 - x^2}} \end{eqnarray*}$

und existiert in zwei Teilen, einmal mit dem positiven und einmal mit dem negativen Vorzeichen.

@MAX, wie kommst du auf deine letzte Umkehrfunktion? Diese stimmt so nicht und daher auch nicht dein Plot!

So sollte sie aussehen (mit positivem Vorzeichen):

Hier sieht man auch die Polstellen bei $\begin{eqnarray*} \pm 4 \end{eqnarray*}$

mY+

18.04.2006, 00:32

MAX-NEUSS

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@mythos:

folgendes hab ich gemacht

$\begin{eqnarray*} x=\frac{4y}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} x*\sqrt{1+x^2}=\frac{4y}{1} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} x^2*(1+x^2)=\frac{16y^2}{1} \end{eqnarray*}$ | ^2
=> $\begin{eqnarray*} x^2+x^4=\frac{16y^2}{1} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} x+x^2=\frac{4y}{1} \end{eqnarray*}$ |SQRT

hmpf,
so bin ich darauf gekommen!
ich dachte es sei erlaubt zu quadrieren um die wurzel zu eliminieren, so wurde es mir zumindest in einem anderen thread geraten!

18.04.2006, 00:34

mYthos

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.. aber wirklich net!!

Aus einer Summe kannst nicht bei den einzelnen Summanden wurzelziehen, brrr!

mY+

18.04.2006, 00:53

MAX-NEUSS

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mythos wie kommst du auf die umkehrfunktion!

ich rechne und rechne und komme einfach nicht drauf

18.04.2006, 01:07

MAX-NEUSS

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habe jetzt

y=x*sqrt(1+x^2)/4

raus.

Geplottet sieht das auch ordentlich aus, nur ist die asymptote falsch!

18.04.2006, 01:11

MAX-NEUSS

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http://allsurf.de/wat.JPG

das rote ist die funktion,
das schwarze meine umkehrfunktion,
das grüne die von dir mythos!

Aber ich verstehe das nicht, ich kann rechnen und rechnen ich krieg das schwarze raus!

18.04.2006, 01:37

mYthos

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f(x):

$\begin{eqnarray*} y = \frac{4x}{\sqrt{1 + x^2}} \end{eqnarray*}$

x <-> y

$\begin{eqnarray*} x = \frac{4y}{\sqrt{1 + y^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 + x^2y^2 = 16y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 = y^2 \cdot (16 - x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2 = \frac{x^2}{16 - x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \pm \frac{x}{\sqrt{16 - x^2}} \end{eqnarray*}$

Deine schwarze Linie stimmt also nicht, von welcher Gleichung stammt die?

18.04.2006, 01:45

MAX-NEUSS

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habe da einfach * die Wurzel geteilt durch 4 gerechnet, sodass rauskam

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*x*\sqrt{1+x^2} = y \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

18.04.2006, 02:01

Poff

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Die schwarze ist falsch, das siehst.
Die Umkehrfunktion ist spiegelbildlich zur Geraden y=x

Wenn du diesen 'Spiegelprozess' nachbildest hast deine Umkehrfunktion

18.04.2006, 02:18

mYthos

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Zitat:

Original von MAX-NEUSS
habe da einfach * die Wurzel geteilt durch 4 gerechnet, sodass rauskam

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*x*\sqrt{1+x^2} = y \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Erstens steht die Wurzel im NENNER, bei dir ist sie im Zähler, zweitens kann man nicht die 16 ausklammern und daraus Wurzelziehen, denn dahinter steht ja noch $\begin{eqnarray*} -x^2 \end{eqnarray*}$ , also unter der Wurzel ist eine Summe, und die kannst nun mal nicht so "aufdröseln".

Dein Problem ist, dass du bei den diversen algebraischen Umformungen nicht sattelfest bist.

mY+

18.04.2006, 02:22

MAX-NEUSS

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Stimmt

smile

muss mir das alles echt nochmal anschauen!

Mein Fehler war übrigens dass ich nur ein x durch ein y ersetzt hab! Das andere hab ich einfach stehen gelassen! Hammer

Hammer

Danke für deine Hilfe, hab das jetzt verstanden!!!

18.04.2006, 16:00

tompalic

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Vielen Dank an Alle!

Wenigstens bin ich nicht der einzige der damit Probleme hatte, ich kan mir schon so dumm vor weil ich einfach nicht drauf gekommen bin! Hammer

Hammer

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