Verständnis Urbildmenge

08.07.2008, 19:58

Hängemathe

Verständnis Urbildmenge

Hallo,

ich habe Probleme mit den Begrifflichkeiten Urbild, Urbildmenge.

Laut Definition: http://de.wikipedia.org/wiki/Urbild_(Mathematik)

Das Urbild einer Menge M unter einer Funktion f sind die Elemente, die in f eingesetzt, ein Element aus M ergeben. Ist also y aus M und f(x) = y, dann ist x Element des Urbildes von M unter f.

Für mich würde das bedeuten, dass das Urbild doch irgendwie gleich dem Definitionsbereich ist, oder doch nicht?

Habe ich z.B. die Funktion f: {-2,-1,0,1,2}--> $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , n-->n²,

so ist das Bild von f {0,1,4}, da die Funktion mit dem gegebenen Definitionsbereich auf 0,1 und 4 abbildet. Nun ist das Urbild gefragt, da hätte ich jetzt einfach den Definitionsbereich angegeben, da die Zahlen -2,-1,0,1 und 2 ja alle ein Bild in f haben. Mein M nach Definition wäre dann mein Bild der Funktion.

Als Urbild gibt mir die Lösung aber $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ({0,4,9,10})={-2,0,2} an. Das ist für mich leider nicht nachvollziehbar.

08.07.2008, 20:08

tigerbine

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RE: Verständnis Urbildmenge
Nicht ganz. Unter einer Defintionsmenge verstehen wir die Menge, auf der eine Funktion "definierbar" ist. Bevor weitere Missverständnisse entstehen. Nehmen wir einmal

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

dabei soll x aus den reellen Zahlen stammen. Dann wäre $\begin{eqnarray*} D_f=\mathbb R \setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ . Nun kann diese Funktion auch nur auf einer Teilmenge der Definitionsmenge betrachten.

$\begin{eqnarray*} f: [1,2] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

Dann ist [1,2] die Urbildmenge. Diese ist Teilmenge der Definitionsmenge.

Dein Beispiel kann ich nicht nachvollziehen, wo hast du das denn her?

09.07.2008, 16:13

Hängemathe

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Das Beispiel habe ich auch meinen Uni-Übungsaufgaben. In der Lösung wird das oben geschriebene als beispielhaftes Urbild ausgegeben. Kann es denn mehrere Urbilder geben?

09.07.2008, 16:17

tmo

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RE: Verständnis Urbildmenge

Zitat:

Original von Hängemathe

Für mich würde das bedeuten, dass das Urbild doch irgendwie gleich dem Definitionsbereich ist, oder doch nicht?

Betrachten wir eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: A \mapsto B \end{eqnarray*}$ , dann ist in der Tat das Urbild von B gerade A, also $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B) = A \end{eqnarray*}$ .

Aber wenn man nur eine Teilmenge B' von B betrachtet, dann muss nicht unbedingt $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B') = A \end{eqnarray*}$ gelten, sondern dann kann auch $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B') \subsetneqq A \end{eqnarray*}$ gelten.

09.07.2008, 16:17

tigerbine

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Erstmal würde ich nein sagen. nun aber nochmal zu deiner Funktion. Du gibst an:

$\begin{eqnarray*} f: M \to \mathbb N, f(n) = n^2 \end{eqnarray*}$

Wobei gilt:

$\begin{eqnarray*} M:=\{-2,-1,0,1,2\} \end{eqnarray*}$

richtig?

09.07.2008, 18:40

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Zitat:

Original von Hängemathe
Habe ich z.B. die Funktion f: {-2,-1,0,1,2}--> $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , n-->n²,

[...]

Als Urbild gibt mir die Lösung aber $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ({0,4,9,10})={-2,0,2} an. Das ist für mich leider nicht nachvollziehbar.

Was ist daran nicht nachvollziehbar?

Die Werte f(-2)=f(2)=4 sowie f(0)=0 liegen in der Menge {0,4,9,10}.

Die Werte f(-1)=f(1)=1 liegen nicht in der Menge {0,4,9,10}.

Damit hat man für alle Elemente des Definitionsbereich die Frage geklärt, ob die zugehörigen Funktionswerte in der fraglichen Menge liegen - oder nicht. Erstere werden dann zur Urbildmenge zusammengefasst.

Vielleicht stört dich ja, dass die Elemente 9 und 10 aus {0,4,9,10} gar nicht im Bildbereich der Funktion vorkommen - na und? Ist für die Definition der Urbildmenge ohne Belang.

09.07.2008, 19:27

tigerbine

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Vielleicht stört dich ja, dass die Elemente 9 und 10 aus {0,4,9,10} gar nicht im Bildbereich der Funktion vorkommen - na und? Ist für die Definition der Urbildmenge ohne Belang.

N'abend Arthur. Also mich würde das zunächst schon auch stören. Augenzwinkern

Allerdings sehe ich hier auch Probleme im Aufschrieb des Fragestellers. Der Satz "Nun wird nach dem Urbild gefragt" und die anschließenden Kommentare passen für mich da nicht zusammen. Warum sollte man auf der suche nach dem Urbild eine Menge von Elementen nehmen, die teils gar nicht im Bild der Funktion liegen? Könnte nicht vielmehr nach dem Urbild der Menge {0,4,9,10} unter der Abbildung f gefragt worden sein?

LG Wink

09.07.2008, 19:51

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Zitat:

Original von tigerbine
Also mich würde das zunächst schon auch stören.

Wenn dich das stört, dann müsstest du dich auch über jede nicht surjektive Funktion aufregen - ja, überhaupt über die Tatsache, dass es sowas wie surjektive Funktionen überhaupt als Begriff gibt. Augenzwinkern

09.07.2008, 20:21

tigerbine

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Mmh... touché. Dennoch bleibt mein zweiter Teil der Frage bestehen. Denn woher kommt sonst diese Teilmenge von IN? Ist es aber die Aufgabe, das Urbild dieser Menge zu bestimmen, so ist das mit der Definition konform.

Schade ist hier in der Notation imho, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ sowohl für die Umkehrfunktion als auch das Urbild genommen wird. Augenzwinkern

09.07.2008, 20:30

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Zitat:

Original von tigerbine
Schade ist hier in der Notation imho, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ sowohl für die Umkehrfunktion als auch das Urbild genommen wird. Augenzwinkern

Sollte die "klassische" Umkehrfunktion existieren, dann gilt aber auch

$\begin{eqnarray*} \{ f^{-1}(y) \} = f^{-1}(\{y\}) \end{eqnarray*}$ ,

links das $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ in der klassischen, rechts in der Urbildbedeutung - insofern ist die gleiche Bezeichnung vertretbar, zumal über das Argument (einmal Punkt, einmal Menge) beide Bedeutungen auseinandergehalten werden können.

09.07.2008, 21:15

tigerbine

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