Schnittpunkte von Kreisen

Neue Frage »

tubias Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkte von Kreisen
Hallo
ich hatte vor ein paar Tagen schon einmal gefragt (Schnittpunkte zweier Kreise).
Jetzt bin ich schon etwas weiter gekommen.
Kann mir jetzt vielleicht jemand weiterhelfen?
C:\Dokumente und Einstellungen\Mappe1_13185_image002.gif

mfg Tubias
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte von Kreisen
Du kannst kein Bild auf deiner Festplatte öffentlich verlinken !!
... außer dir kann das sonst niemand sehen

Du musst das Bild per "Dateianhang bearbeiten" deiner Post anhängen

...
tubias Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte von Kreisen
Sorry

hier ist das Bild und die Formel
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte von Kreisen
na ja, wenn du soweit bist, dann kannst du auch noch weiter
wurschteln ...

Klammer auflösen, die x² und x 'se isolieren und dann die
quadratische Gleichung lösen.

Hoffentlich ist kein Rechenfehler drin ...


Wie wärs denn gewesen, wenn du zuvor einen der Kreise
durch Koordinatentransformation in den Ursprung 'transformiert'
hättest ....


hätte nicht gedacht, dass du so hart rangehst . Augenzwinkern


smile
tubias Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte von Kreisen
Naja das ist es ja gerade.
Wie kann man denn weiter ausklammern und isolieren?

Ich steh irgendwie auf'em Schlauch verwirrt

Vielleicht weiß ja jemand ein Stück weiter.

Koordinatentransformation hab ich doch gemacht: (x - x1)... oder seh ich das falsch?

mfg tubias
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte von Kreisen
Koordinatentransformation, nein
zwei Kreise

(x-x1)²+(y-y1)² = r1²
(x-x2)²+(y-y2)² = r2²

kannst du so 'umverlegen' durch Koordinatensystemänderung,
dass daraus

x²+y²=r1²
(x-x3)²+(y-y3)² = r2²

wird. Die Relation beider zueinander ändert sich dadurch nicht,
es lässt sich aber etwas einfacher damit rechnen. Evtl könntest
du einen davon sogar noch 'normieren' zu x²+y²=1.
Der zweite Kreis müsste dann auf r2²/r1² geschrumpft werden.

Später müssen dann die Schnittresultate entsprechend
rückgerechnet werden.
Das jetzt nur mal, als eine weitere 'Variante' zum drüber
nachzudenken.
...........................


Ausklammern:
x²(1+c)+x[-2x1-(2y1(x2-x1))/(y1-y2)] +y1*a/(y1-y2) +b =0

ich hoffe es stimmt verwirrt


smile
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das Problem gelöst.
Dabei bin ich stur nach Schema F (wie von tubias angefangen) vorgegangen, habe am Schluß allerdings die "meterlangen" Terme mit Hilfe eines CAS durch geeignete Substitutionen vereinfacht. Dabei habe ich halbwegs vernünftige Formeln erhalten, die ich sogar nachträglich geometrisch interpretieren konnte.


Gegeben zwei Kreise




mit den Mittelpunkten
und den Radien .

Ich setze voraus, daß die beiden Kreise nicht identisch sind.

Mit d bezeichne ich den Abstand der Mittelpunkte, also


Zunächst treffe ich eine Fallunterscheidung, ob die Kreise getrennt liegen, sich berühren oder sich in zwei Punkten schneiden.

1. Fall: die Kreise liegen getrennt
Bedingung:
(jeder Kreis liegt im Äußeren des andern)
oder
(der kleinere Kreis liegt im Innern des größeren)

2. Fall: die Kreise berühren sich
Bedingung:
(die Kreise berühren sich von außen)
oder
(der kleinere Kreise berührt den größeren von innen)

3. Fall: die Kreise schneiden sich in zwei Punkten
Bedingung:


Im 2. und 3. Fall verbinde man die Mittelpunkte der Kreise mit einem der Schnittpunkte (bzw. dem Berührpunkt). Das entstehende (im 2. Fall entartete) Dreieck hat den Flächeninhalt f, den man nach Heron berechnen kann gemäß



Die Schnittpunkte der Kreise erhält man gemäß den folgenden Formeln (im 2. Fall fallen beide Schnittpunkte zu dem Berührpunkt zusammen):

1. Schnittpunkt:


2. Schnittpunkt:


Beim Programmieren sollte man daran denken, daß das Überprüfen der Gleichheit von Gleitkommazahlen wegen Rundungsfehlern im allgemeinen zu falschen Ergebnissen führt. Die Bedingung des 2. Falles kann daher nur in der Form
|s-t|<epsilon
überprüft werden.
tubias Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold und Poff

Danke für Eure Hilfe. :]

Das muß ich mir jetzt erst mal reinziehen.
Ich hatte ständig die pq-Formel im Kopf...

mfg tubias
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold

wieso liefert (r1²-r2²)/d * cos(M1M2 gegen Absz.) abs. genommen
den doppelten x-Teil von Mitte M1M2 zum Höhenfußpunkt auf d ??
(Lotfußpunkt vom Schnittpunkt auf M1M2)

das ist das einzige was ich daran im Moment nicht sehen kann,
ansonsten ist die Lösung geometrisch klar, wenn ich mal
Vorzeichenorientierung etc weglasse ....




smile

Edit

alles klar, hat sich erledigt, ich habs ...
Pythagoras im HalbDreieck M1M2-Schnittpunkt und über d/2 +- *gg*
tubias Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold

ich verstehe noch nicht wie du zu x1=1/2(a1+a2-(r1^2-r2^2)(a1-a2)+4(b1-b2)f/d^2) gekommen bist.
Kannst du da bitte noch bischen erklären.

Danke
mfg tubias
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin wirklich nach Schema F vorgegangen. Am Schluß muß man eine quadratische Gleichung mit den a-,b-,r-Parametern lösen. Das geht tatsächlich mit der p-q-Formel! Allerdings ergeben sich extrem lange Ausdrücke. Mit einem Blick für quadratische,kubische usw. Ausdrücke und unter wesentlicher Zuhilfenahme meines CAS (ältere Version von MathView - vielleicht nicht das professionellste CAS, aber ich bin's gewohnt) konnte ich mit den Hilfsgrößen d und f dann relativ einfache Formeln finden. Ich kann dir unmöglich die Herleitung hier aufschreiben.

Aber nachdem die Formeln jetzt bekannt sind, kann man nach einem eher geometrischen Beweis suchen. Poff hat dazu ja schon ein paar Anmerkungen gemacht. Wo ein Flächeninhalt f vorkommt, ist eine Höhe nicht weit (f=1/2·Grundseite·Höhe), und wo eine Höhe, da ein rechter Winkel - Pythagoras läßt grüßen! Zudem zeigen die Formeln wegen 1/2·(a1+a2), 1/2·(b1+b2), daß die Mitte von M1,M2 eine Rolle spielt. Versuch's doch einmal so!
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte ihm gestern schon den Vorschlag machen, das ganze
trigonometrisch anzupacken ....
(allerdings mehr mit praktischer Zielsetzung und weniger mit
Zielrichtung exakt. Handfeste Ergebnisse sind eh nichts anders )


und deine Lösung ist im Prinzip die 'analytische Entsprechung'
eines geschickten geometrisch-trigonometrischen Ansatzes,

wobei ich mich doch schon sehr wundere, dass du über
den analytischen Ansatz darauf gestoßen bist. :-oo


Ich hätte jetzt viel eher vermutet, das Deinige sei die clevere
analytische Umsetzung des trigonometrischen Ansatzes ...
(modulo 'Vorzeichen' ...)

Sx = ( M1M2mx + M1M2mxFx + h*sin(AnstiegM1M2))
Sy = ( M1M2my + M1M2myFy + h*cos(AnstiegM1M2))
...
Fxy ist Fußpunkt der Höhe von Schnittp. auf M1M2
M1M2mxy die Mitte von M1M2

und h der geniale Griff als ... *g*



.. ich hätte das analytisch nie und nimmermehr anpacken
können, dazu ist meine Rechenfehlerquote viel zu horrent,
als dass ich ernsthaft freiwillig mit solchem spielen könnte.
War schon mal anders,
da hätte ich mich mit Interesse auf solches gestürzt.
(glaube aber kaum dass ich auf ein Resultat deiner Art
gestoßen wäre)


rechenintensives Zeugs kann ICH im Prinzip derweil leider kaum
mehr durchrechnen, da schleichen sich 'Hunderte' von Fehlern ein,
manchmal kann ich 'eins und zwei' nicht richtig addieren.
(das war mal genau umgekehrt, Fehler gabs keine nicht)


Dass ICH dieses Umfeld mal aus den Augen derer würde
kennen lernen müssen, deren EINFACHE Probleme ich zuvor
fast nicht habe ahnen können hätte ich nicht geglaubt ....


Ich wurde eines andern belehrt,
heute kann ich es besser verstehen denn je
und damit auch die Aversionen vieler dagegen ...


smile
tubias Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar,

Danke noch mal.
Werde mir auch mal so ein Programm(MathView) besorgen.

Super Sache dieses Forum :]

mfg tubias
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

MathView heißt jetzt LiveMath.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

@tubias

ich glaube du solltest aaber nicht davon ausgehen, dass du
damit Entsprechendes 'einfach' auch hättest erreichen können.

Da gehört glaube ich schon ein wenig 'Genialität' dazu
solch ein Ziel zu erreichen.


smile
minobu Auf diesen Beitrag antworten »

da bei einigen Formlen von Leopold bei mir ein latex error kommt poste ich sie hier nochmal:

Gegeben zwei Kreise

mit den Mittelpunkten
und den Radien

Ich setze voraus, daß die beiden Kreise nicht identisch sind.

Mit d bezeichne ich den Abstand der Mittelpunkte, also


Zunächst treffe ich eine Fallunterscheidung, ob die Kreise getrennt liegen, sich berühren oder sich in zwei Punkten schneiden.

siehe post von Leopold


Im 2. und 3. Fall verbinde man die Mittelpunkte der Kreise mit einem der Schnittpunkte (bzw. dem Berührpunkt). Das entstehende (im 2. Fall entartete) Dreieck hat den Flächeninhalt f, den man nach Heron berechnen kann gemäß



Die Schnittpunkte der Kreise erhält man gemäß den folgenden Formeln (im 2. Fall fallen beide Schnittpunkte zu dem Berührpunkt zusammen):

1. Schnittpunkt:


2. Schnittpunkt:
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

1. Der letzte Beitrag erfolgte vor 4 Jahren!
2. Du hättest den Fehler einem Moderator melden können, dieser kann ihn richtigstellen.
3. Danke trotzdem!

mY+
speedy2day Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ich versuche gerade, die oben vorgestellte Methode zur allgemeinen Berechnung der Schnittpunkte zweier Kreise in ein FORTRAN-Programm zu implementieren.

Leider scheinen sich in die Formeln ein paar Fehler eingeschlichen zu haben

Zumindest der Satz von Heron müsste doch folgendermaßen lauten:


Mir scheint als würden auch in den Formeln für die Schnittpunkt-Koordinaten ein paar Formelzeichen fehlen.

Vielleicht kann das jemand nochmal überprüfen...
Gruß
speedy2day
speedy2day Auf diesen Beitrag antworten »

Bin gerade noch auf diese Lösung des Problems gestoßen:
http://kowalski.s4f.eu/addt/2kreise.html

Diese ließ sich ohne Probleme implementieren und liefert schlüssige Ergebnisse
cryptonize Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig einfach
Um den ganzen Termumformungen zu entkommen Kann man so vorgehen, dass man einen Kreis in den Ursprung verlegt und den anderen Kreis auch entsprechend verschiebt. Wenn eine Kreisgleichung nur noch x^2+y^2=r^2 ist , ist es ein Lichtes sie umzustellen y=sqrt(r-x^2). Dieser Term muss jetzt in die beliebige Kreisgleichung (x - xm)^2 + (y-ym)^2=r^2 für y gleichgesetzt werden und ausgerechnet werden....
Ganz einfach
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »