3fach-Integral

18.04.2006, 15:23

donkarabelas

3fach-Integral

Hi,

stehe bei folgendem Integral an:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{\alpha}^{\beta}~(yz)^x~dx~dy~dz \end{eqnarray*}$

[edit]
falsches Integral
[/edit]

könnte mir da jemand einen Tipp geben??

mfg
elias

18.04.2006, 16:07

Ambrosius

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wo genau hast du denn Probleme?

18.04.2006, 16:58

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Da der Integrand positiv ist, kann man Fubini bedenkenlos anwenden, d.h., die Integrationsreihenfolge vertauschen. Hier wird es wohl am günstigsten sein, zuerst nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ zu integrieren.

EDIT: Vorher stand da das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\int_{1}^{2}~z^{xy}~dx~dy~dz \end{eqnarray*}$ .

Bei solchen tiefgreifenden Änderungen schreibt man einen neuen Beitrag, und lässt das Original stehen, sonst zerstört man die Integrität des Threads!!! Forum Kloppe

für dich, donkarabelas.

18.04.2006, 23:14

donkarabelas

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naja beim anwenden von fubini is ja kein problem nur wenn man alles ausintegriert hat bis auf dx dann kommt man auf ein integral, das keine elementare stammfunktion hat, und ich frage mich ob ich das dann abschätzen soll und auch kann.

mfg
elias

19.04.2006, 00:01

Abakus

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Gib bitte mal deinen Rechenweg mit Ergebnis an, ansonsten lässt sich da wenig zu sagen.

Grüße Abakus smile

19.04.2006, 01:18

donkarabelas

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ok hier mein rechenweg:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{\alpha}^{\beta}~(yz)^x~dx~dy~dz\\<br /> ~=~\int\limits_{0}^{1}~\int\limits_{0}^{1}~\left(y^x*\frac{z^{x+1}}{x+1}|^{\beta}_{\alpha}\right)~dx~dy\\<br /> ~=~\int\limits_{0}^{1}~\left(\frac{y^{x+1}}{(x+1)^2}\beta^{x+1}-\frac{y^{x+1}}{(x+1)^2}\alpha^{x+1}\right)|_{0}^{1}~dx\\<br /> ~=~\int\limits_{0}^{1}~\frac{1}{(x+1)^2}\left(\beta^{x+1}-\alpha^{x+1}\right)~dx<br /> \end{eqnarray*}$

okay und dann is aus was das berechnen angeht

mfg
elias

19.04.2006, 07:35

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Sowohl $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ werden von 0 bis 1 integriert, nur der Exponent $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ des Integranden von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ . Insofern können Strukturen wie $\begin{eqnarray*} \alpha^{x+1} \end{eqnarray*}$ nur von einer Vertauschung herrühren, überprüfe mal in dieser Hinsicht deinen falschen Rechenweg!

19.04.2006, 09:49

donkarabelas

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hmm moment, aber lt. meiner vorlesung ist das innerste integral das was nach z geht, also ich dachte immer streng von innen nach außen, erst z dann y dann x, oder irre ich da gewaltig?

ps: wie bekommt man diesen "in den grenzen a bis b"-Strich in latex zusammen?

mfg
elias

19.04.2006, 10:04

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Zitat:

Original von donkarabelas
also ich dachte immer streng von innen nach außen

Genau, und das heißt eben

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 ~ \int\limits_0^1 ~ \int\limits_{\alpha}^{\beta} ~ (yz)^x ~ \mathrm{d}x ~ \mathrm{d}y ~ \mathrm{d}z &=& \int\limits_0^1 ~ \left[ \int\limits_0^1 ~ \left[ \int\limits_{\alpha}^{\beta} ~ (yz)^x ~ \mathrm{d}x \right] ~ \mathrm{d}y \right] ~ \mathrm{d}z \end{eqnarray*}$

19.04.2006, 10:31

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Sowohl $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ werden von 0 bis 1 integriert, nur der Exponent $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ des Integranden von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ . Insofern können Strukturen wie $\begin{eqnarray*} \alpha^{x+1} \end{eqnarray*}$ nur von einer Vertauschung herrühren, überprüfe mal in dieser Hinsicht deinen falschen Rechenweg!

Was Arthur hier etwas verklausuliert ausdrücken will ( Augenzwinkern

):
Wenn man nach x integriert, muss man die Grenzen auch für x einsetzen.

Du scheinst aber schon falsch nach x zu integrieren. Beachte, dass x, also die Intgrationsariable, im Exponenten steht!

Gruß vom Ben

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