Varianz bei Zufallsversuch

09.07.2008, 15:23

Michael22

Varianz bei Zufallsversuch

Hallo,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

"In einer Urne liegen 10 Kugeln, beschriftet mit den Ziffern 0 bis 9. Aus der Urne wird 1 Kugel zufällig gezogen. Dieser Versuch wird insgesamt 100 mal durchgeführt. Der „Durchschnitt“ (arithmetisches Mittel) der 100 gezogenen Ziffern wird ermittelt und als Realisation der Zufallsvariable X¯ bezeichnet.

Wie groß ist die Varianz?"

Meines Wissens verändert sich doch die Varianz, je mehr Kugeln ich ziehe. Wie berechne ich die Varianz, wenn ich nicht weiß, welche Kugeln gezogen werden? Kann sein, dass ich einfach nur auf dem Schlauch stehe, aber wie lautet die Formel zur Berechnung der Varianz bei 100 Mal ziehen?

Vielen Dank.

09.07.2008, 15:30

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Die Varianz der Summe unabhängiger (!) Zufallsgrößen ist gleich der Summe der Einzelvarianzen der beteiligten Summanden. Das zusammen mit der Varianzeigenschaft

$\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(cX) = c^2\cdot \operatorname{var}(X) \end{eqnarray*}$ für reelle Konstanten $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$

führt die Berechnung der Summenvarianz auf die Berechnung einer Einzelvarianz zurück, nämlich der für eine gezogene Kugel bzw. Ziffer.

09.07.2008, 15:35

Michael22

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Wäre diese dann 2 * (4,5²+3,5²+2,5²+1,5²+0,5²) = 82,5 ?

09.07.2008, 15:38

Michael22

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Entschuldige den Doppelpost:

Die Varianz berechne ich ja normalerweise (4,5²+3,5²+2,5²+1,5²+0,5²) / 10
bei 10 mal Ziehen oder?

Bedeutet das, dass ich das Ergebnis dann einfach mit 10 wieder multiplizieren muss, da ich ja praktisch 10*10 Mal ziehe?

Wie wäre es bei 1000 Mal ziehen?

[(4,5²+3,5²+2,5²+1,5²+0,5²) / 10] * 100 ?

09.07.2008, 15:44

Michael22

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Oh Mann, ich sollte mich registrieren.

Bei beidem habe ich vorher *2 vergessen.

Sorry.

09.07.2008, 15:53

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Das

Zitat:

Original von Michael22
Die Varianz berechne ich ja normalerweise (4,5²+3,5²+2,5²+1,5²+0,5²) / 10

im Zusammenhang mit dem

Zitat:

Original von Michael22
Bei beidem habe ich vorher *2 vergessen.

könnte dann langsam hinkommen für die Einzelvarianz - schreib es besser nochmal auf.

---------------------

Was die Varianz des Durchschnitts betrifft: Es geht eben um den Durchschnitt, nicht nur um die Summe. Was meinst du wohl, warum ich das hier

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(cX) = c^2\cdot \operatorname{var}(X) \end{eqnarray*}$ für reelle Konstanten $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$

erwähnt habe - jedenfalls nicht aus bloßer Langeweile.

09.07.2008, 16:01

Michael22

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Ich habe Verständnisprobleme bei deiner Formel. Was ist c?

Bei 10 Mal ziehen: [2 * (4,5²+3,5²+2,5²+1,5²+0,5²)] / 10 = 8,25 ?
Bei 100 Mal ziehen: [2 * (4,5²+3,5²+2,5²+1,5²+0,5²)*10] / 10 = 82,5 ?
Bei 1000 Mal ziehen: [2 * (4,5²+3,5²+2,5²+1,5²+0,5²)*100] / 10 = 825 ?

Aber müsste die Varianz bei steigender Anzahl von gezogenen Kugeln nicht geringer werden? Ich blicke da überhaupt nicht durch.

09.07.2008, 16:06

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Zitat:

Original von Michael22
Aber müsste die Varianz bei steigender Anzahl von gezogenen Kugeln nicht geringer werden? Ich blicke da überhaupt nicht durch.

Weil du nur verbal philosophierst, statt zu rechnen. böse

Wenn beim $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -maligen Ziehen die Ziffern $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ gezogen werden, dann ist

$\begin{eqnarray*} \bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k \end{eqnarray*}$

deren Durchschnitt. Jetzt wendet man die genannte Formel mit dem reellen Faktor $\begin{eqnarray*} c=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ an:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{var}\left( \bar{X}_n \right) = \operatorname{var}\left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k \right) = \frac{1}{n^2} \cdot \operatorname{var}\left( \sum_{k=1}^n X_k \right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt folgt noch das, was ich zur Summe von unabhängigen Zufallsgrößen gesagt habe - und die $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ hier sind voneinander unabhängig...

09.07.2008, 16:23

Michael22

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Danke für deine Bemühungen, aber mit bloßen Formeln komme ich einfach nicht klar. unglücklich

Ich bräuchte ein Beispiel zur Veranschaulichung bzw. einfach an meiner Aufgabe. Naja, Mut zur Lücke in der Klausur. unglücklich

Trotzdem Danke.

09.07.2008, 16:59

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Da steht die Lösung da, und du meckerst noch rum. Na gut, manchen ist eben nicht zu helfen. Finger1

09.07.2008, 19:46

Michael22

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Ich hätte halt gerne mal gewusst, ob diese 82,5 stimmen und wie sich dieser Wert bei 1000 Mal ziehen verändern würde. Das konnte zumindest ich aus der Formel nicht erkennen.

09.07.2008, 20:25

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Und ich hätte halt gerne mal, dass du dir die Beiträge durchliest - da stehen nämlich alle Antworten, wenn du dich nur ein wenig weiter angestrengt hättest:

Da alle $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ identisch verteilt sind, haben auch alle dieselbe Einzelvarianz, damit folgt für den Durschnitt (s.o.):

$\begin{eqnarray*} \operatorname{var}\left( \bar{X}_n \right) = \ldots = \frac{1}{n^2} \cdot \sum_{k=1}^n \operatorname{var}(X_k) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \operatorname{var}(X_1) = \frac{1}{n} \cdot \operatorname{var}(X_1) \end{eqnarray*}$ .

Also NICHT das n-fache, wie von dir vermutet, sondern der n-te Teil der Einzelvarianz...

Wenn du jegliche Formeln ablehnst, und alles verbal oder direkt mit Zahlenrechnung erledigen willst, dann wirst du es in der Hochschulstochastik noch sehr schwer haben.

09.07.2008, 22:38

Michael22

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Vielen Dank, mit der letzten Formel hab ich es verstanden. Also lautet Die Varianz bei 100 Mal ziehen: 0,0825 --> 1/100² * 100 * 8,25 (Einzelvarianz) = 0,0825

Wenn das nicht stimmt, dann weiß ich auch nicht mehr. Big Laugh

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