beweis eines Homomorphismuses

18.04.2006, 22:21

Gast(jan)

beweis eines Homomorphismuses

Guten Abend zusammen. Ich habe die ein oder ander verständnisfrage zu der folgenden Aufgabe und es wäre daher super nett wenn sie mir jmd erklären könnte.

$\begin{eqnarray*} \lambda : (\mathbb Z /161 \mathbb Z ,*161 ) \end{eqnarray*}$ ----> $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z /7 \mathbb Z ,*7 ) \times (\mathbb Z /23 \mathbb Z ,*23 ) \end{eqnarray*}$

gegeben durch

$\begin{eqnarray*} \lambda(x) = (\pi7(x),\pi23(x)) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x<161 \end{eqnarray*}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray*} \pi7 \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} \pi23 \end{eqnarray*}$ ) der Restklassenhomomorphismus modulo 7 (bzw. 23).

Man zeige:

((i) $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist ein Homomorphismus von Halbgruppen.
(ii) $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist bijektiv.

Zu (i) besteht mein Ansatz darin das ich den Homomorphisatz herleite
$\begin{eqnarray*} f\left(a \oplus b\right) = f(a) \otimes f(b) \end{eqnarray*}$
und die def. des direkten Produktes nutze
$\begin{eqnarray*} (x_1, y_1) \times (x_2, y_2) = (x_1 * x_2, y_1 + y_2) \end{eqnarray*}$
dies mit 2 elementen x und y $\begin{eqnarray*} \in \mathbb Z /161 \mathbb Z \end{eqnarray*}$

(Da ich nicht so fit in Latex bin habe ich per copy und paste die Wiki def )

Ich habe mit dieser Methode schon herumexperimentier komme aber einfach nicht weiter, die Aufgabe raubt mir den Verstand. Das Problem ist das kartesische Produkt! Aufgaben war sonst immer mit 2 Gruppen oder Halbgruppen gegebn die eine Abbildung bildeten.

Zu (ii) für die bijektivität muss ich zeigen das injektivität gilt und surjektivität. Jetzt dachte ich an eine Agrumentation über den Kern und das Bild der Abbildung jedoch benötige ich hierfür doch ein neutrales Element und das ist erst in einem Monoid gegen nicht zwingend in einer Halbgruppe.

Ich weiss das gerade die verknüpfungen sehr unübersichtlich geworden sind und hierfür entschuldige ich mich, jeder der trotzdem bereit is sich durch zu kämpfen ein großes Dankeschön.

Gruß Jan

19.04.2006, 01:41

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Z/161Z ist klar, aber "*161"? oder soll das die Verknüpfung sein? *verstehe* aber schwer lesbar unglücklich

x ist sicher nicht aus IN, wer sagt denn das? x ist doch eine Restklasse aus Z/161Z.... sonst kann man lambda nicht drauf anwenden.
für deine Abb. kann man dann einen entsprechenden Restklassenvertreter (aus Z, bzw dann eben aus {0,1,...,159,160}) wählen.... und den dann....

eigentlich sollte sich i) durch Restklassenrechnungen erledigen....
zeig mal deine Experimente!
ii) wegen der Endlichkeit reicht Sur- oder Injektivität...

19.04.2006, 08:00

(gast) Jan

Auf diesen Beitrag antworten »

re
Werde es heute abend posten muss jetzt erstmal n die Uni!
*161 bzw.*7 und *23 sind die verknüpfungen das is richtig.
das x aus N soll glaubeich nur bedeuten das es die Modulo rechnung unterstützt also lambda(161) = 1 bzw das nur ganze zahlen eingestzt werden dürfen.

Danke Jan

19.04.2006, 08:15

(gast)Jan

Auf diesen Beitrag antworten »

Meins du jetzt mit Restklassenvertreter, das ich zum beispiel 150 aus Z/161 wähle und zeige das ich dieses auch durch die beiden Verknüpfungen *7 und *23 erstellen kann? Dabei is nur das Problem das ich mitdem direkten Produkt nicht klarkommen. das schaff ich irgendwie nicht in den homomorphissatz einzubauen.

19.04.2006, 11:13

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

zeig mal deine Experimente!

ich bleib dabei

Restklassenvertreter brauchst du, weil Z/7Z keine Faktorisierung von deiner Ursprungsgruppe Z/161Z ist. Du kannst also nicht ein Element hernehmen, und drauf eine Projektion anwenden!

aber du kannst ja so definieren: $\begin{eqnarray*} \lambda(\vec(x))=(\pi_{7}(x), \pi_{23}(x) \end{eqnarray*}$ , beachte Wechsel Restklasse, Vertreter, dass das wohldefiniert ist steht natürlich noch aus....

deine Bezeichnungen wären übrigens viel besser lesbar, wenn du Indizes verwenden würdest. hier "\pi_{7}" und "\pi_{23}"

19.04.2006, 15:35

Gast Jan

Auf diesen Beitrag antworten »

Ansätze
Also ich habe grad nochmal meinen Prof genervt.
Der Beweis läuft dann wie folgt ab

$\begin{eqnarray*} \lambda(x) = (\pi_{7}(x),\pi_{23}(x)) \end{eqnarray*}$
es folgt:
$\begin{eqnarray*} \lambda(x * y) = (\pi_{7}(x*y),\pi_{23}(x*y)) \end{eqnarray*}$
daraus folgt
$\begin{eqnarray*} \lambda(x * y) = (\pi_{7}(x)*\pi_{7}(y),\pi_{23}(x)*\pi_{23}(y)) \end{eqnarray*}$
nach dem auflösen des direkten Produktes folgt dann:
$\begin{eqnarray*} \lambda(x * y) = (\pi_{7}(x),\pi_{23}(x))*(\pi_{7}(y),\pi_{23}(y)) \end{eqnarray*}$
nach Def: is dies identisch mit der Vorraussetzung und somit bewiesen!

So denke ich jedenfalls habe das noch etwas ausführlicher die schritten aber mit Latex dauert das alles so lange^^

Zu (ii) Habe ich mir folgendes gedacht.
Die Bijetivität folgt aus Injektivität und Surjektivität. Es ist nur noch Injektivität zu zeigen, da aus (i) bereits hevor geht das die Anzahl der Elemente der Gruppen gleich sind.
Der Kern einer Abbildung sind die Element die auf Null bzw.den Nullvektor abgebildet werden So nehme ich
$\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z /161 \mathbb Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda(a * Kern \lambda)=0 \end{eqnarray*}$
daraus folgt
$\begin{eqnarray*} \lambda(a)=0 \end{eqnarray*}$
daraus folgt
$\begin{eqnarray*} a \in Kern \lambda \end{eqnarray*}$
daraus folgt dann
$\begin{eqnarray*} a * Kern \lambda = Kern \lambda = 0 \end{eqnarray*}$

Das sind meine Ansätze
Und noch eine frage ich habe mich im Forum registriert kann mich anmelden aber hier keine antwort mitmeinem Account geben eineEmail zur freischaltung habe ich auch noch nicht bekommen.
unglücklich

Gruß und Danke Jan

19.04.2006, 16:27

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

o denke ich jedenfalls habe das noch etwas ausführlicher die schritte

dann wird das denke ich passen, das sind wirklich hauptsächlich Modulo-Rechendinge....

zur b) frage ich einfach mal ganz dumm: hattet ihr schon den chinesischen Restsatz? daraus folgt eigentlich sofort die Surjektivität.

Ansonsten zeige die Injektivität: gesucht ist eine Restklasse, deren Vertreter (aus {0,..,160}) durch 7 und 23 teilbar ist (Rest 0 lässt).
Probier einfach alle passenden Zahlen durch (also z.B. die sieben Vielfachen von 23) => Kern={0} und somit Injektivität.

Zitat:

Und noch eine frage ich habe mich im Forum registriert kann mich anmelden aber hier keine antwort mitmeinem Account geben eineEmail zur freischaltung habe ich auch noch nicht bekommen.

Kontaktiere mich am besten mal per Email (bzw. wenn du schon registriert bist per PN, damit ich dir auch antworten kann).
Angaben: Username, Emailadresse
vermutlich hast du dich bei der Emailadresse vertippt, weil die Freischaltungsemail wird üblicherweise sofort verschickt.

19.04.2006, 20:19

Mellmann

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Danke für die Antworten
2. Hmmmm als den chinesischen Restsatz hatten wir allerdings heute erst und morgen 12 Uhr sind die Aufgaben abzugeben muss man schauen was er sagt, unser Prof is etwas konfus was die Ordnung in seinen Skript bzw. Tafelbild angeht^^ er hat ihn auch nie mit chinesischen Restsatz bezeichent.

Danke nochmals

19.04.2006, 21:06

Mellmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahso doch noch eine Frage

Zitat:

Ansonsten zeige die Injektivität: gesucht ist eine Restklasse, deren Vertreter (aus {0,..,160}) durch 7 und 23 teilbar ist (Rest 0 lässt).

Hmm also wenn ich dann jetzt den KgV(7,23) bestimme kommt ja 161 raus
(Bei Primzahlen is der KgV doch immer das Produkt oder nicht!?) 161 wir natürlich auf 1 der rest beträgt 0 es folgt also

23 = (1,2)
46 = (2,4)
69 = (3,6)
92 = (4,1)
115= (5,3)
138= (6,5)
161= (0,0) <bzw 161 wir ja zu 0 also wir 0 = (0,0)

Somit is doch jetzt injektivität bewiesen oder da ja nur 0 auf 0,0 abgebidlet wird sonst keine zahl! q.e.d oder doch nit!?!?!?

19.04.2006, 21:47

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ich würde das eben noch ausbauen, warum du gerade diese natürlichen Zahlen auf die Reste untersuchst, aber ich denke, das Prinzip sollte dir klar sein

der chinesische Restsatz hätte dir die Surjektivität geliefert, jede beliebige Restkombi wird nämlich in Z getroffen (da gibt's ne Surjekitv-Aussage bei diesem Satz!)... sie ist eindeutig modulo 161 (modulo 7+23 (!)), also wird jede Restkombination von einer Zahl zwischen 0 und 160 getroffen und dazu nehmen wir die Restklasse in Z/161Z als Urbild.

usf.

mit dem Anmelden hat's wohl auch geklappt Willkommen

19.04.2006, 22:00

Mellmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Thx
Jo hat geklappt und danke nochmal hatte auch eine PN geschickt das es geklappt hat.

Gruß Jan

Neue Frage »

Antworten »

beweis eines Homomorphismuses

Verwandte Themen