Jacobi Verfahren

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dj_mathe Auf diesen Beitrag antworten »
Jacobi Verfahren
Hallo!
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob dies das richtige Forum hierfür ist. Wenn nicht möge der Moderator es verschieben.
Ich hab Probleme mit dem Jacobi-Verfahren.

Die Iterations-Vorschrift sieht ja so aus:



(da wo in der Summe sonst nix steht is nen Punkt, weil der Formeleditor das sonst nicht packt.)

Das erste, was ich nicht verstehe ist: müsste man nicht das erste Element der Iteration vorgeben? In diesem Falle .

Und was genau bedeutet die Summe. Bei Wikipedia steht, dass beim Weglassen der (oberen) Indizies aus dem Kontext klar ist, was gemeint. Für mich ist das aber gar nicht klar.

Was heisst hier ?

Danke, Christoph!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Für Wiki nachlesen fehlt mir gerade die Zeit. ich 'erschlage' dich mal mit zwei Zitaten, vielleicht wird das Verfahren dann klarer? Erstmal was zur Begriffsklärung, im zweiten dann das Jacobi-Verfahren. Sicher brauchst du einen Startwert, aber du kannst doch 'jeden' Vektor einfach als eine eben mehr oder weniger gut Approximation der Lösung sehen. Zum Thema Konvergenz siehe drittes Zitat.

Zitat:
Mit der Kondition einer Matrix hatten wir ja bereits einen Verstärkungsfaktor für den Eingabefehler von b kennengelernt. Ein Ansatz wäre also zu versuchen anstatt des LGS Ax = b ein besser konditioniertes zu lösen.

Sei eine reguläre Matrix. Man nennt sie den Linkspräkonditionierer.





Damit kann man nun die Iterationsvorschriften aufstellen:






Hier soll (2) verwendet werden. Zur Beurteilung der Konvergenz wird man jedoch die Darstellung (1) benötigen. Ebenso hätte man die Darstellungen auf folgende Weise erhalten können. Wegen des "Aufsplitten" der Matrix A nennt man die Verfahren daher auch Splitting Verfahren:




Der beste Linkskonditionierer ist offensichtlich . In diesem Fall erhält man unabhängig von in einem Schritt die Lösung. Diese Wahl (Invertierung von A) ist i.a. Natürlich zu aufwendig. Dennoch ist es daher nahe liegend, P so zu wählen, dass die Einheitsmatrix in einem gewissen Sinne approximiert. Dabei sollen folgende Regeln beachtet werden:
  • Das Gleichungssystem (2) muss arithmetisch einfach lösbar sein

  • Die Iterierten müssen bei jeder Wahl von (möglichst schnell) gegen die Lösung von Ax=b konvergieren, d.h.



Lehrer Es wird die Annahme gemacht, dass A durch Zeilen. bzw. Spaltenvertauschungen so umgeordnet worden sei, daß kein Hauptdiagonalelement Null ist (ist dis nicht möglich, so ist A singulär).

Zur Beschreibung von möglichen Präkonditionieren verwendet man die folgenden regulären Matrizen:








Zitat:

Hier gilt:






Liest man die Rekursionsvorschrift Zeilenweise aus, erhält man:




Man benötigt also für einen Eintrag des neuen Vektors alle Einträge das alten Vektors . Deswegen nennt man das Verfahren auch Gesamtschrittverfahren, da die verbesserten Werte erst nach einem Gesamtschritt (n-Einzelschritte) zum Tragen kommen.


Zitat:
Für die Matrix A gelte (ebentuell nach Zeilen- Spaltenvertauschung)



Eine andere Schreibweise des Kriteriums wäre:



D.h. die Matrix A ist strikt zeilendiagonal dominant.


Dann gilt:

  1. Das lineare Gleichungssystem Ax=b ist regulär, also eindeutig lösbar.

  2. Die vom GSV und ESV erzeugte folge konvergiert für jeden Startpunkt gegen die theoretische Lösung x.

  3. Der Abstand eines Folgengliedes von der Lösung x ist abschätzbar durch:




Lehrer

Eine Aussage ob GSV oder ESV schneller konvergiert, läßt sich im Allgemeinen nicht treffen. Die Verfahren konvergieren umso besser, je kleiner (mind. < 1) der Spektralradius der Iterationsmatrix M ist.
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