kurvenintegrale

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schoboto Auf diesen Beitrag antworten »
kurvenintegrale
diese woche stehen bei mir an der uni kurvenintegrale am plan...mit den beispielen hab ich keine probleme, die kann ich tadellos mit hilfe von skript und formelsammlung lösen. ABER ich verstehe nicht ganz, was ich da mache. der sinn hinter der ganzen aktion bleibt mir verborgen.
sämtliche erklärungen, die ich finde, verwirren mich nur noch mehr. daher meine frage/bitte: kann mir jemand einfach (!) und anschaulich erklären, was ein kurvenintegral bedeutet? verwirrt
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

ISt ein kurvenintegral nicht die FLäche unterhalb der Kurve :? wenn du ne kurve hast die den verlauf der autogeschwindigkeit darstellt, dann könntest du ( glaub ich zumindestens ) fröhlich die gefahrenen km ausrechnen. Mal als praktisches Beispiel

Gruß
Hanno
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Hi.
Mir ist keine anschauliche, mathematische Bedeutung des Kurvenintegrals bekannt Wozu suchst du eine solche überhaupt? Meiner Meinung nach ist Anschauung in der Mathematik oftmals eher hinderlich, einen Sachverhalt vernünftig zu verstehen, schon angefangen beim R-Integral in der Schule, das (schwachsinnigerweise) als der orientierte Flächeninhalt, den das Schaubild der Funktion mit der x-Achse einschließt, gedeutet (und manchmal sogar definiert!) wird. In der Physik treten ja häufig Kurvenintegrale auf und dort erhalten sie dann auch sowas wie eine anschauliche Bedeutung, aber diese kann man auch nur verstehen, wenn man nicht von irgendwelchen anderen Deutungen beeinflusst ist, sondern sich einfach klarmacht, dass es (im vektoriellen Fall) einfach eine Summe von Skalarprodukten entlang einer Kurve ist (dann wird zum Beispiel sofort klar, dass es die entlang des Weges verrichtete Arbeit ist). Ich glaube, man kann das Kurvenintegral irgendwie mit einer Projektion der Kurve veranschaulichen, aber wie gesagt, wozu?
@m00xi: Ich glaube, du redest nicht von einem Kurvenintegral, sondern von einem "normalen" R-Integral (und auch in diesem Fall ist es eher so, dass die Fläche unter der Kurve das Integral ist und nicht andersum).
schoboto Auf diesen Beitrag antworten »

ich hasse nichts mehr, als stupides auswendig lernen...und ich mag einfach nicht, die formeln anwenden und nicht mal annähernd wissen, warum. ist schon klar, dass das nicht immer geht...aber ich hoffe doch sehr, dass das bei kurvenintegralen möglich ist! sonst hab ich schon horro vor der steigerung (und die kommt, ob ich will oder nicht, nächste woche...aber gottseidank sind da ein paar "praxisnähere" LOL Hammer beispiele..)
also, bin weiterhin für alle erklärungen offen! :P
DunkelBlut Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Ich hab da vielleicht eine Anschauung für Dich!

Es ist übrigens nicht die Fläche unter einer Kurve, daß währe dann ein Flächenintegral!

Das Kurvenintegral itteriert die Kurve selbst in lauter kleine Geraden.


Stell Dir vor, Du must mit einem Kanu eine Bestimmte Strecke, also Kurvenlinie auf einem Wilden Fluss abpaddeln und die Verschiedenen Ströhmungen stellen daß Vektorfeld dar.

Das Kurvenintegral berechnet im Prinzip die Leistung, die Du benötigst, um entlang der Funktionskurve(Wegstrecke auf dem Fluss) zu paddeln.
tiefauslaeufer Auf diesen Beitrag antworten »

das dürfte weiterhelfen:

das bestimmte integral



einer reellen funktion g:[0,a]->IR stellt den einfachsten fall eines kurvenintegrals dar, es ist interpretierbar als integral über ein skalarenfeld laengs der strecke

die verallgemeinerung auf beliebige kurven im IR liefert ein mittel, um in der physik die masse und den schwerpunkt von krummen stäben, die arbeit in kraftfeldern und die zirkulation in stroemungsfeldern zu berechnen und in der theorie von vektorfeldern zu einem gradientenfeld das potential zu bestimmen.

sei

ein kurvenstück und f eine skalare belegungsfunktion auf dem kurvenstück:

dann heisst



das kurvenintegral von f längs w.
(aus vachenauer, höhere mathematik I)
 
 
DunkelBlut Auf diesen Beitrag antworten »

Das is nich schlecht!

Wie ist es eigentlich, wenn eben dieses Omega zb. eine Strecke von X0 bis X1 ist?

Kann mir einer das als Beispiel rechnen?
DunkelBlut Auf diesen Beitrag antworten »

ohh, w meinte ich, nicht Omega!
tiefauslaeufer Auf diesen Beitrag antworten »

hallo dunkelblut,


bei einer funktion:

1.schritt: das kurvenstueck parametrisieren:

w(t)=(x(t),y(t),z(t)

2.schritt: das bogenelement durch differentation nach t bestimmen

ds= |w'(t)|dt

3.schritt: eintragen:

w(t) im integranden eintragen: f=f(w(t)) und das bogenelement ds auch. integrationsgrenzen setzen und best. integral ausrechnen.

vektorfeld:

ist an sich kein problem, nur musst du das 3dim. bzw. 2dim. vektorfeld kennen, über das du längs deiner kurve integrieren willst.

weiters musst du diese strecke parametrisieren, d.h. beim einheitskreis waere es gerade:





analog ist es bei einer strecke von a nach b, wie in deinem fall ...
man erstellt eine geradenfunktion abh. von parameter t .

kurvenint. sind in fast jedem mathebuch für höhere mathematik umfangreich beschrieben.

mfg robag
schoboto Auf diesen Beitrag antworten »

danke leute smile

aber eins muss ich sagen: es ist wesentlich leichter, mit den integralen zu rechnen, als sie ganz und gar zu verstehen (was man da genau tut) Augenzwinkern
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