lim (sin x)^x für x->0

09.07.2008, 20:04

Honzo

lim (sin x)^x für x->0

hallo zusammen,

in der klausur, die ich grad eben geschrieben habe kam obige aufgabe vor. hat jemand von euch einen ansatz, wie man das berechnen kann? jeder versuch ist kläglich gescheitert unglücklich

09.07.2008, 20:07

Zizou66

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Ein ganz einfacher Ansatz ist, dass alles, was hoch 0 genommen wird gleich eins ist.

09.07.2008, 20:14

tmo

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@Zizou: Diese Überlegung versagt aber z.b. bei $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (2^{-n^2})^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

Man könnte aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ ausnutzen, um das ganze auf $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^x = \lim_{x \to 0} e^{x \ln x} \end{eqnarray*}$ zurückzuführen. Dieser Grenzwert ist leicht zu berechnen.

09.07.2008, 20:28

Honzo

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@Zizou: es führt auf 0^0 was zu einer liste undefinierter ausdrücke gehört, wie beispielsweise auch unendlich/unendlich etc

Zitat:

Original von tmo
@Zizou: Diese Überlegung versagt aber z.b. bei $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (2^{-n^2})^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

Man könnte aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ ausnutzen, um das ganze auf $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^x = \lim_{x \to 0} e^{x \ln x} \end{eqnarray*}$ zurückzuführen. Dieser Grenzwert ist leicht zu berechnen.

mit folgendem kommt man im prinzip auf das gleiche, wie du sagst, aber kann man das so machen? der ln von 0 ist doch aber irgendwie auch undefiniert.

g = (sin x)^x

ln g = x ln (sin x)

g = e^(x*ln(sin x))

würde irgendwie dann gegen e^0 sprich eins gehen.

lg

09.07.2008, 20:32

tmo

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Hier hast du ja mit $\begin{eqnarray*} 0 \cdot (-\infty) \end{eqnarray*}$ wieder einen unbestimmten Ausdruck, kannst also ohne weitere Begründung nicht einfach sagen, dass der Exponent gegen 0, also das ganze Ding gegen 1 konvergiert.

09.07.2008, 20:46

Tomtomtomtom

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Es gab irgendnen Trick, mit dem man Grenzwerte der Form 0^0 äquivalent in einen Ausdruck umformen kann, auf den man die Regel von l'Hospital anwenden kann. Muß ich mal raussuchen, hab ich ewig ncih gemacht.

Edit der erste Schritt wurde ja schon genannt:

$\begin{eqnarray*} (\sin x)^x = \exp (x \log (\sin x))) \end{eqnarray*}$

Im Exponenten hast du jetzt wie ebenfalls schon bemerkt wurde einen Ausdruck bei dem der Grenzwert die Form 0 * -oo hat. Nun gilt

$\begin{eqnarray*} x \log (\sin x)= \frac{x}{\frac{1}{\log \sin x}} \end{eqnarray*}$

JEtzt kannst du mit der Regel von l'Hopital weitermachen, da du einen Grenzwert der Form 0/0 hast. Auch dabei wird aber wohl ein Schritt nicht reichen.

Edit: Hm, so richtig bis zum Ende kommt man da auch nicht durch.

09.07.2008, 20:52

Zizou66

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Zitat:

@Zizou: Diese Überlegung versagt aber z.b. bei $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (2^{-n^2})^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

Ok, ich halte mich dann besser mal zurück Augenzwinkern

09.07.2008, 21:06

tmo

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@Tomtomtomtom: Das führt aber leider zu

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}- \cfrac{1}{\cfrac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\ln^2(\sin x)}} = \lim_{x \to 0} -\frac{\sin x \ln^2 (\sin x)}{\cos x} \end{eqnarray*}$

, also nicht wirklich zum Ziel. Ich frage mich warum mein Tipp so erfolgreich missachtet wird verwirrt

Warum sollte man das Rad neu erfinden, wenn man das ganze auf bekannte (bzw. einfach nachzuweisende) Grenzwerte zurückführen kann?

09.07.2008, 21:15

Tomtomtomtom

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Vielleicht weil man den Tipp nich verstanden hat? Big Laugh

Ich zumindest so spontan nicht.

Edit: Ach doch, hab mich nur vertan. Das ist wohl wirklich die beste Idee.

09.07.2008, 21:36

Honzo

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Zitat:

Original von tmo
Hier hast du ja mit $\begin{eqnarray*} 0 \cdot (-\infty) \end{eqnarray*}$ wieder einen unbestimmten Ausdruck, kannst also ohne weitere Begründung nicht einfach sagen, dass der Exponent gegen 0, also das ganze Ding gegen 1 konvergiert.

hab ich das nicht in deinem fall auch?

(btw danke an alle für die vielen und schnellen antworten Augenzwinkern

)

09.07.2008, 21:42

tmo

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Das stimmt zwar, aber aus

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \ln x \end{eqnarray*}$

wird durch $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{u} \end{eqnarray*}$ schnell mal

$\begin{eqnarray*} \lim_{u \to \infty} -\frac{\ln u}{u} = - \lim_{u \to \infty} \frac{\ln u}{u} \end{eqnarray*}$

Mal sehen ob wir jetzt auf einen Grenzwert gestoßen sind, den du kennst. Ich mein, wenn du eine Klausur geschrieben hast, hast du auch vorher eine Vorlesung besucht, da müsst ihr ja irgendwas gemacht haben verwirrt

09.07.2008, 21:48

Mathespezialschüler

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Auch wenn ich auch tmo's Vorschlag bevorzugen würde, noch eine kleine Anmerkung:

Zitat:

Original von Tomtomtomtom
Nun gilt

$\begin{eqnarray*} x \log (\sin x)= \frac{x}{\frac{1}{\log \sin x}} \end{eqnarray*}$

Warum so schwierig? Durch

$\begin{eqnarray*} x\ln(\sin x)=\frac{\ln(\sin x)}{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

hat man erstens viel weniger Probleme beim Ableiten und kommt zweitens sogar mit l'Hospital zum Ziel.

09.07.2008, 22:17

Honzo

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Zitat:

Original von tmo
Das stimmt zwar, aber aus

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \ln x \end{eqnarray*}$

wird durch $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{u} \end{eqnarray*}$ schnell mal

$\begin{eqnarray*} \lim_{u \to \infty} -\frac{\ln u}{u} = - \lim_{u \to \infty} \frac{\ln u}{u} \end{eqnarray*}$

Mal sehen ob wir jetzt auf einen Grenzwert gestoßen sind, den du kennst. Ich mein, wenn du eine Klausur geschrieben hast, hast du auch vorher eine Vorlesung besucht, da müsst ihr ja irgendwas gemacht haben verwirrt

offen gestanden ist die vorlesung dazu schon ne weile her Augenzwinkern

thx @all

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