Reihe

09.07.2008, 23:36

seppsarep

Reihe

HI,

hab hier die Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

wobei:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} \leq \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

daraus kann ich doch schließen dass
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$
konvergiert, oder ?

09.07.2008, 23:38

tmo

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RE: Reihe

Zitat:

Original von seppsarep

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} \leq \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Wie schließt du denn darauf?

09.07.2008, 23:41

seppsarep

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minorantenkrit. oder ??

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ist konvergent

seh ich das richtig ?

09.07.2008, 23:42

tmo

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Das stimmt ja.

Aber wie kommst du denn auf diese Abschätzung?

09.07.2008, 23:44

seppsarep

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naja weiß nich, is mir so spontan eingefallen, simmts denn nicht ?

09.07.2008, 23:45

seppsarep

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ach muss es heissen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ??

09.07.2008, 23:46

tmo

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Man sieht doch sofort, dass das nicht stimmt.

$\begin{eqnarray*} n^2 \geq n+1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \geq \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ .

Gehen wir doch mal anders an die Aufgabe:

Was weißt du denn über die Konvergenz/Divergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

09.07.2008, 23:49

seppsarep

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das is die harmon. Reihe, divergent ?!

09.07.2008, 23:51

tmo

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Richtig. Und was soll dieses +1 im Nenner daran nun ändern?

09.07.2008, 23:54

seppsarep

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ja ok, klingt plausibel.

aufgabe ursprünglich war:

berechne gernzwert der reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}(\frac{0.5}{(x+1)} - \frac{-0.5}{(x+3)}) \end{eqnarray*}$

weiß nicht so ganz wie ich da rangehen soll

09.07.2008, 23:55

seppsarep

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dass da hinten oben im Zähler muss +0.5 heissen

09.07.2008, 23:56

tmo

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Das ändert die ganze Sache natürlich. Stichwort: Teleskopsumme.

Statt x meinst du schon n oder?

09.07.2008, 23:59

seppsarep

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ja klar

10.07.2008, 13:42

seppsarep

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darf ich denn in da prüfung di ersten 5 summen hinschreiben, und daraus folgern dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac 3 4 \end{eqnarray*}$ ist, oder muss ich dass irgendwie umformen ?

10.07.2008, 15:21

klarsoweit

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Du bildest am besten $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}(\frac{0.5}{k+1} - \frac{0.5}{k+3}) \end{eqnarray*}$ und läßt dann n gehen unendlich gehen.

10.07.2008, 15:43

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Um den vorliegenden Charakter der Teleskopreihe deutlicher hervorzuheben, könnte man im Aufschrieb auch so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+3} \right) = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \left[ \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} \right] - \left[ \frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} \right] \right) = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} (b_k-b_{k+1}) \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} b_k = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} \end{eqnarray*}$ .

Aus $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{k\to\infty} b_k = 0 \end{eqnarray*}$ folgt dann unmittelbar

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+3} \right) = \frac{1}{2} b_0 = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ .

Wenn man aber ohne jede Teleskopreihenkenntnisse auskommen muss, ist aber der von klarsoweit vorgeschlagene Weg der direkten Angabe der Partialsummen, und anschließendes Zeigen von deren Konvergenz der bessere Weg.

10.07.2008, 16:22

seppsarep

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Aus $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{k\to\infty} b_k = 0 \end{eqnarray*}$ folgt dann unmittelbar

das versteh ich nicht mehr ganz, dann geht doch die ganze summe gegen 0 ... ?!

10.07.2008, 16:27

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Zitat:

Original von seppsarep
das versteh ich nicht mehr ganz, dann geht doch die ganze summe gegen 0 ...

Eine völlig unbegründete Schlußfolgerung: Seit wann ist denn der Reihenwert Null nur deswegen, weil die Reihenglieder gegen Null konvergieren? unglücklich

10.07.2008, 16:31

seppsarep

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ja ich verstehs hald einfach nicht

wieso bleibt $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ übrig

10.07.2008, 16:33

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Für eine Teleskopreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} (b_k-b_{k+1}) \end{eqnarray*}$ berechnet sich die n-te Partialsumme gemäß

$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=0}^{n} (b_k-b_{k+1}) = b_0-b_{n+1} \end{eqnarray*}$ ,

kann man leicht durch vollständige Induktion zeigen. Erforderlich für die Reihenkonvergenz ist nun, dass diese Partialsummen konvergieren, und das ist gleichbedeutend damit, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert - im Beispiel oben konvergiert sie gegen Null, und da bleibt dann eben

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} s_n = b_0 - \lim\limits_{n\to\infty} b_{n+1} = b_0 \end{eqnarray*}$

übrig.

Sag doch gleich, dass dir der Begriff Teleskopreihe so überhaupt nichts sagt - dann hätten wir uns das sparen können.

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