Probleme bei Grenzwertaufgaben

19.04.2006, 11:10

Robert M

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Probleme bei Grenzwertaufgaben

Hi leute,

Ich habe ein paar Probs mit folgenden Grenzwertberechnungen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{ln x} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{cos5x}{cosx} \end{eqnarray*}$

Kann mir bitte jemand einen Ansatz schildern.. (Wenn geht ohne der d'Hospital Sache..)

Gruß
Robert

19.04.2006, 11:18

Lazarus

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Mit l'hospital gehts aber ganz fix in einer zeile.. warum willst du den nicht ?

19.04.2006, 11:45

Robert M

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Weil wir den nicht gemacht haben und ich weiß nicht, ob die Prüfer darauf positiv zu sprechen sind.. aber wenn du mir das anhand dieses Beispieles erklären kannst, wäre ich dir auch dankbar!

Gruß
Robert

19.04.2006, 11:48

klarsoweit

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RE: Probleme bei Grenzwertaufgaben
Kennst du denn
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} \end{eqnarray*}$ ?

19.04.2006, 11:53

Robert M

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Wart mal.. wenn ich ds richtig versanden haben dann geht das mit l'hospital so..

Wenn ich die erste Aufgabe einsetzte sollte stehen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{f'(x)=1}{g'(x)=\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

dann kann ich normal den Grenzwert 1 nehmen und dann kommt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{f'(x)=1}{g'(x)=\frac{1}{1}} \end{eqnarray*}$

raus, was auch die Lösung 1 heißen würde, was auch stimmt..

Kann man das so hinnehmen oder habe ich das falsch verstanden??

Gruß
Robert

19.04.2006, 11:59

klarsoweit

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Ja, das wäre mit l'Hospital. Aber du wolltest es ja gerade ohne das machen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hätte noch eine Idee. Wir betrachen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{ln(x)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{ln(x) - ln(1)}{x-1} \end{eqnarray*}$
Kommt dir das bekannt vor?

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19.04.2006, 12:02

Robert M

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Steil.. dass das so einfach sein kann, hätte ich mir nicht gedacht.. und ichrätsle herum smile

smile

Naja.. ich frag mal nach und die werden mir dann schon sagen, ob es geht, oder nicht!

19.04.2006, 12:05

JochenX

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Zitat:

Original von Robert M
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{f'(x)=1}{g'(x)=\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

dann kann ich normal den Grenzwert 1 nehmen und dann kommt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{f'(x)=1}{g'(x)=\frac{1}{1}} \end{eqnarray*}$

wenn du es so in der Prüfung machst, dann verwendest du aber bitte eine andere Schreibweise, ja?
weil DA werden die Prüfer sicher nicht drüber wegsehen... Gleichungen in Zähler und Nenner.......

arghs.

Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.04.2006, 12:07

Robert M

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Zitat:

Original von LOED
wenn du es so in der Prüfung machst, dann verwendest du aber bitte eine andere Schreibweise, ja?
weil DA werden die Prüfer sicher nicht drüber wegsehen... Gleichungen in Zähler und Nenner.......

arghs.

Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schon klar.. ich wollte nur den genauen Weg hinschreiben um bei Unklarheit das besser sehen zu können.. bei der Prüfung wird das dann (hoffentlich) passen..

Gruß

19.04.2006, 12:08

klarsoweit

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RE: Probleme bei Grenzwertaufgaben
Für das $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{cos5x}{cosx} \end{eqnarray*}$ kann man auch schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\frac{cos(5x)}{x- \pi/2} \cdot \frac{x- \pi/2}{cos(x)}) \end{eqnarray*}$

Dann die Grenzwerte einzeln bestimmen.

19.04.2006, 12:24

Robert M

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RE: Probleme bei Grenzwertaufgaben
Ok.. da steh' ich ein wenig daneben.. wesegen wird das so hingeschrieben??

Gruß

19.04.2006, 12:30

klarsoweit

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RE: Probleme bei Grenzwertaufgaben
Was hast du denn beim ln raus?

Auch hier geht es darum, geeignete Differenzenquotienten zu bilden.

19.04.2006, 12:31

Robert M

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RE: Probleme bei Grenzwertaufgaben
Beim "ln" kommt als Ergebnis 1 raus. Ich werde es so lassen und mit dem l'hospital rechnen..

19.04.2006, 12:39

klarsoweit

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Aber wir wollten doch ohne l'Hospital rechnen. Und es ist doch gar nicht schwer:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{ln(x)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{ln(x) - ln(1)}{x-1} = f'(1) \end{eqnarray*}$

mit f(x) = ln(x) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Stichwort: Differenzenquotient und Ableitung.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{cos(5x) - cos(5 \cdot \pi/2)}{x- \pi/2} \end{eqnarray*}$ ist die Ableitung von welcher Funktion an welcher Stelle?

EDIT: fehlende 5 ergänzt.

19.04.2006, 12:57

-felix-

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Irre ich mich, oder sollte man nicht eigentlich so vorgehen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos 5x}{\cos x} =\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} 5\cdot \frac{\cos 5x - \cos\left( 5 \cdot \frac{\pi}{2}\right)}{5x-5 \cdot \frac{\pi}{2}} \cdot \frac{x-\frac{\pi}{2}}{\cos x - \cos \frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

19.04.2006, 13:01

klarsoweit

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So geht's auch. Ich hatte mich verschrieben bzw. eine 5 vergessen. Also für den ersten Teil des Grenzwerts sieht die Sache so aus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{cos(5x) - cos(5 \cdot \pi/2)}{x- \pi/2} \end{eqnarray*}$

20.04.2006, 10:06

Robert M

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Zitat:

Original von klarsoweit
Aber wir wollten doch ohne l'Hospital rechnen. Und es ist doch gar nicht schwer:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{ln(x)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{ln(x) - ln(1)}{x-1} = f'(1) \end{eqnarray*}$

mit f(x) = ln(x) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Stichwort: Differenzenquotient und Ableitung.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{cos(5x) - cos(5 \cdot \pi/2)}{x- \pi/2} \end{eqnarray*}$ ist die Ableitung von welcher Funktion an welcher Stelle?

EDIT: fehlende 5 ergänzt.

Was du meinst ist wahrscheinlich die Formel von:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{f(x)- f(a)}{x-a} \end{eqnarray*}$

oder irre ich mich da?

20.04.2006, 10:52

klarsoweit

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Genau die Formel meine ich. Und der Grenzwert ist bekanntlich f'(a). Augenzwinkern

Augenzwinkern

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