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19.04.2006, 15:07

MTM

ggT

Hi! Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen...

q Primzahl
x,y aus Z mit $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ und ggT(x,y) = 1
Zeige $\begin{eqnarray*} ggT(\frac{x^q-y^q}{x-y},x-y) \end{eqnarray*}$ teilt q

Bin für jeden Tipp dankbar!!

bis dann
Mel

19.04.2006, 16:12

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Du könntest z.B. $\begin{eqnarray*} t:=x-y \end{eqnarray*}$ substituieren. Dann wäre die vorliegende Aufgabe äquivalent zu

Zitat:

$\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ Primzahl
$\begin{eqnarray*} t,y\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(t,y) = 1 \end{eqnarray*}$
Zeige $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}\left(\frac{(y+t)^q-y^q}{t},t\right) \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ .

Und mit dem Binomischen Satz folgt die Geschichte dann ziemlich leicht.

Geht vermutlich auch einfacher, sehe ich im Moment aber nicht.

P.S.: Ich sehe übrigens nicht, wieso $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ eine Primzahl sein soll - müsste auch für alle anderen natürlichen Zahlen gelten. verwirrt

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