Tangentialebene und totales Differential

10.07.2008, 11:26

Suschie

Tangentialebene und totales Differential

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{y}{x^2} \end{eqnarray*}$

von dieser Funktion soll einmal Tangentialebene und das totale Differential berechnet werden. für den Punkt P_0 = (1,1)

$\begin{eqnarray*} f_x(x,y) = -\frac{2y}{x^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_y(x,y) = \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

Tangentialebenen nach der Formel:

$\begin{eqnarray*} z-f(x_0,y_0) = fx(x_0, y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z-1 = -2x + 2 + y -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = -2x + y +2 \end{eqnarray*}$ (meine P_0 einsetzen)

$\begin{eqnarray*} z = 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich über das totale Differential berechnen welche änderungen sich in der tangentialebene ergeben wenn man zum Punkt P_1(1.1, 0.8) übergeht.

$\begin{eqnarray*} df = f_x(1,1)*(1.1 - 1) + f_y(1,1) * (0.8 - 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} df = -0.4 \end{eqnarray*}$

So, jetzt hab ich diese "Dinge" hier berechnet, aber ich hab bisher noch nicht so ganz verstanden was ich hier überhaupt genau gemacht hab. Ich habe eine Annäherung gemacht, was passiert wenn ich meine Position in der Ebene auf der X-Ache um 0.1 und auf der Y-Achse um -0.2 verändere?!

Oder was konkret ist das Fazit hiervon? verwirrt

12.07.2008, 02:18

Krecik

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RE: Tangentialebene und totales Differential

Zitat:

Original von Suschie
Tangentialebenen nach der Formel:

$\begin{eqnarray*} z-f(x_0,y_0) = fx(x_0, y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z-1 = -2x + 2 + y -1 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin richtig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} z = -2x + y +2 \end{eqnarray*}$ (meine P_0 einsetzen)

$\begin{eqnarray*} z = 1 \end{eqnarray*}$

Das macht keinen Sinn. Du hast deine P_0-Koordinaten bereits oben eingesetzt: $\begin{eqnarray*} P_0=(x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ . Die x, y sind freie Parameter der Ebenengleichung.
Die Tangentialebene ist also gegeben durch die Gleichung $\begin{eqnarray*} z=-2x+y+2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 2x-y+z=2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Jetzt soll ich über das totale Differential berechnen welche änderungen sich in der tangentialebene ergeben wenn man zum Punkt P_1(1.1, 0.8) übergeht.

$\begin{eqnarray*} df = f_x(1,1)*(1.1 - 1) + f_y(1,1) * (0.8 - 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} df = -0.4 \end{eqnarray*}$

So, jetzt hab ich diese "Dinge" hier berechnet, aber ich hab bisher noch nicht so ganz verstanden was ich hier überhaupt genau gemacht hab. Ich habe eine Annäherung gemacht, was passiert wenn ich meine Position in der Ebene auf der X-Ache um 0.1 und auf der Y-Achse um -0.2 verändere?!

Ganz genau. Das totale Differential $\begin{eqnarray*} df(p) \end{eqnarray*}$ an einem festen Punkt p ist eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (in diesem Fall). Die Punkte der Tangentialebene sind gerade die Punkte $\begin{eqnarray*} (x, y, z) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z=f(p)+(df(p))(x-x_0, y-y_0) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} p=(x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ gelten soll. (Bemerke: $\begin{eqnarray*} df(p): \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung.)
Du kannst dir den Urbildraum ( $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ) von $\begin{eqnarray*} df(p) \end{eqnarray*}$ als an den Punkt p "angeheftet" vorstellen. D.h. der Nullpunkt ist auf den Punkt p des Urbildraums von f verschoben. Das nennt man den Tangentialraum am Punkt p (nicht zu verwechseln mit der Tangentialebene in diesem Fall).
$\begin{eqnarray*} df(p) \end{eqnarray*}$ ist also eine lineare Funktion auf dem Tangentialraum am Punkt p (d.h. auf dem um -p "verschobenen" Urbildraum von f). Und die Punkte $\begin{eqnarray*} (x, y, f(x_0, y_0)+(df(x_0,y_0))(x-x_0, y-y_0)) \end{eqnarray*}$ bilden eben die Tangentialebene, die sich an den Graphen $\begin{eqnarray*} \Gamma=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3|&z=f(x,y) \end{eqnarray*}$ nahe bei $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0, f(x_0, y_0)) \end{eqnarray*}$ "anschmiegt". Natürlich schmiegt sie sich nicht wirklich an, denn sie ist flach. Man sagt auch dazu, sie ist eine Schmiegfläche erster Ordnung.
Durch Hinzunahme der zweiten und noch höherer Ableitungen kann man so "Schmiegflächen" höherer Ordnung, d.h. mit Krümmung, die sich an den Verlauf der Kurve dann wirklich mehr und mehr anpassen, definieren. Das lernt man dann alles mit dem Satz von Taylor, falls du jetzt schon gespannt drauf wartest.
Blah. Ich hoffe, ich habe dich nicht nur noch mehr verwirrt.
Der Herr segne dich.
Krecik

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