Ebenenschar zu einer Gerade finden

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Zysus Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenenschar zu einer Gerade finden
Hallo,

ich lern gerade fürs Abi und komm bei einer Aufgabe nicht weiter.

Ich habe ein Gerade gegeben:


Ich muss nun die Ebenenschar bestimmen, wo jede Ebene diese Gerade enthält. Folglich muss diese Gerade die Schnittgerade alle Ebenen sein. Ich habe keine Ahnung, wie ich hier ansetzen soll.

Danke im Vorraus für eure Hilfe.

Mfg Zysus
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebenenschar zu einer Gerade finden
Hi!

Schreibe die Parameterform der Geraden zeilenweise an und eliminiere dann zwei Mal (auf verschiedene Weise) den Paramter .

Damit entstehen zwei Ebenen , die die gegebene Gerade enthalten.





Durch Linearkombination dieser beiden Ebenen (mit den Scharparametern ) werden alle durch g verlaufenden Ebenen beschrieben (Ebenenbüschel durch g):



Anmerkung:
Diese Schargleichung kann durch eine kleine Umformung auch mit nur einem Parameter angegeben werden:

Die Gleichung wird durch dividiert und gesetzt:





Gr
mYthos
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

cool smile

wusste gar nicht,dass das so geht. Ist ja eigentlich ne recht einfache Methode, danke dir!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Vertiefung bzw. Bestätigung der Richtigkeit erfährt der gezeigte Weg durch folgende Betrachtung:

Wenn zwei Ebenen , die durch die gegebene Gerade gehen, bekannt sind, kann durch Linearkombinationen ihrer Normalvektoren wiederum ein Normalvektor jeder beliebigen weiteren Ebene der Schar erzeugt werden, denn alle Normalvektoren der Ebenenschar liegen komplanar (ihrerseits wieder in einer Ebene, normal zu g).

Eine solche Linearkombination, mit den Parametern sei



Die gesuchten Ebenen haben eben diese Linearkombination zum Normalvektor und müssen auch den Anfangspunkt A(-3;2;2) beeinhalten. Daher lautet deren Schar-Gleichung:

, dies wegen der Orthogonalität von und .

Mit den eingesetzen Werten ist dies z.B.



wobei die Vektoren bei die Normalvektoren zweier durch Elimination von in der gegebenen Geraden gewonnenen Ebenen sind.

Die weitere Rechnung liefert dann das gleiche Ergebnis wie die direkte Linearkombination der auf Null gebrachten Ebenengleichungen.

mY+
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Oder so.

Gerade g: X = A + t*R
(A<>000)

mit

(X-A) * ((A x R) + t*((A x R) x R)) = 0

hast im Handumdrehen deine Ebenenschar in Abhängigkeit von t,
ohne jegliche Gleichungssysteme und Co zu bemühen.

Macht hier

(X-(-3;2;2)) * ((-2;6;-9)+t*(-21;-58;-34)) = 0

exakt eine Ebene kannst damit allerdings nicht erfassen,
nämlich die für t=+-oo.
Die kannst aber ganz einfach so hinzunehmen.

(X-(-3;2;2)) * (-21;-58;-34) = 0

Damit hast ALLE.


Edit
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
...
hast im Handumdrehen deine Geradenschar in Abhängigkeit ...


Du meinst wohl Ebenenschar.

Ansonsten sind deine Überlegungen gut nachzuvollziehen. Das Hinzunehmen des Falles erfordert eine Grenzwertberechnung (dividieren durch t, dann geht der Vektor mit t im Nenner gegen den Nullvektor), was der "Homogenität" des ganzen Falles ein wenig Abbruch tut.

Eine wesentliche Vereinfachung sehe ich allerdings sonst nicht, insbesondere die beiden Kreuzprodukte erfordern einige Rechenarbeit.

Nebenbei habe ich mir auch schon Gedanken darüber gemacht, ob's auch mit einer einparametrigen Schar geht oder es unbedingt eine zweiparametrige sein muss.
Freilich ist's im Prinzip eine einparametrige Gleichung. Auch in meinem Ergebnis kommt man sofort dahin, wenn man beispielsweise in



durch dividiert und setzt:



mY+
 
 
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Selbstverständlich Ebenenschar . Augenzwinkern


Der Grenzfall der 'rausfällt', ist von der praktischen Seite wohl
eher uninteressant, sodass mit dem einparametrigen Ansatz
fast alles zu packen sein dürfte was anfällt.

Ergibt sich bei einem Spezialproblem tatsächlich in Folge mal
't=oo' dann ist das eben genau jene andere Ebene, Punkt.


Und die ist nichts anderes als

(X-A) * ((A x R) x R)) = 0

und kann dann als passende Lösung sofort angegeben werden
.
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