substitution oder doch nicht?!

19.04.2006, 15:49

HerrPythagoras

substitution oder doch nicht?!

hi,
das kommt davon, wenn man 2 semester kein mathe mehr macht - hab's integrieren verlernt... wär nett, wenn mir einer bei folgender aufgabe mal meinen fehler sagt:

also, es soll folgendes integriert werden:

$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}~\frac{arccos (x)}{\sqrt{1-x^{2}}}~dx \end{eqnarray*}$

da dachte ich mir dann, substituiere ich mal arccos(X) = t

dann nen bisschen lustig durchrechnen und ich komm auf:

$\begin{eqnarray*} [-\frac{1}{2}t^{2}]_{arccos(\frac{1}{2})}^{arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})} \end{eqnarray*}$ verwirrt

würd ich dann rücksubstituieren käm ich doch auf arccos(arccos(...)), für den ersten teil also arccos(30) und das ist ja leider gar nicht möglich.

irgendwo wird nen sau blöder fehler drin sein, aber ich komm nicht drauf, hoffe ihr könnt mir helfen.

19.04.2006, 16:03

klarsoweit

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RE: substitution oder doch nicht?!
Ich würde die Substitution x=cos(t) machen (ist im Prinzip ähnlich). Was hast du dann weiter gerechnet?

19.04.2006, 16:05

zeta

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edit: war durcheinander...

19.04.2006, 16:56

HerrPythagoras

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also deine substitution versteh ich wohl, ist wohl auch ganz sinnvoll, aber da krieg ich doch dann nen integral mit $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{t}{sin(t)}~dt \end{eqnarray*}$ was ich dann wieder partiell integrieren muss und dabei wirds dann auch wieder ganz schön umständlich (außerdem bin ich mir nicht sicher, was ich für die grenzen einsetzen muss - wieder arccos(a), oder?), würd also erstmal lieber meinen fehler finden, bevor ich das zu ende rechne.
ich hab folgendes gemacht:

die subst: $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \end{eqnarray*}$

eingesetzt & gekürzt: $\begin{eqnarray*} \int_{arccos(\frac{1}{2}}^{arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})}~-t~dt \end{eqnarray*}$

stammfunktiondann ja wieder da

19.04.2006, 17:55

klarsoweit

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RE: substitution oder doch nicht?!

Zitat:

Original von HerrPythagoras
$\begin{eqnarray*} [-\frac{1}{2}t^{2}]_{arccos(\frac{1}{2})}^{arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})} \end{eqnarray*}$

Dann ist das ok. (Jedenfalls sehe ich nicht, was da falsch sein sollte.)
Also obere und untere Grenze einsetzen. Fertig.

19.04.2006, 18:05

HerrPythagoras

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neee, passt doch noch nicht unglücklich

wenn ich die untere grenze einsetze steht da $\begin{eqnarray*} ... + \frac{1}{2}arccos^{2}(arccos(\frac{1}{2})) \end{eqnarray*}$ und das geht nicht...

oder ist mein verstand jetzt gänzlich ausgefallen???

19.04.2006, 19:40

_Gast_

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Substituion lohnt. Du hast $\begin{eqnarray*} t = \arccos x \medspace \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{d t}{d x} = - \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \medspace \end{eqnarray*}$ , was umgestellt $\begin{eqnarray*} d x = - d t \cdot \sqrt{1-x^{2}} \end{eqnarray*}$ ergibt.

$\begin{eqnarray*} \int \limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arccos x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx \end{eqnarray*}$

Dann macht man die Substitution.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{t}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot (- d t) \cdot \sqrt{1-x^{2}} = \int -t \, dt = \big[-0,5t^{2} \big] \end{eqnarray*}$

Die Grenzen schleppe ich nie mit. Sollte ich mir vielleicht eines Tages mal angewöhnen. Jetzt rücksubstituiert man.

$\begin{eqnarray*} \int \limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arccos x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \big[ -0,5 \cdot \arccos^{2} x \big]_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \end{eqnarray*}$

Näherungslösung mit CAS ist:

$\begin{eqnarray*} \int \limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arccos x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = 0,41123352 \end{eqnarray*}$

Lösung beim Einsetzen in die gefundene Stammfunktion:

$\begin{eqnarray*} \int \limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arccos x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \big[ -0,5 \cdot \arccos^{2} x \big]_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -0,5 \cdot \arccos^{2} \frac{\sqrt{3}}{2} - -0,5 \cdot \arccos^{2} \frac{1}{2} = 0,4112335167 \end{eqnarray*}$

Wenn du für dein $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ wieder rücksubstituierst, musst du auch die Grenzen wieder anpassen. Vielleicht könnte das der Fehler gewesen sein.

19.04.2006, 19:43

Abakus

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Einmal einsetzen reicht aus, das t wird nicht zurücktransformiert, da du ja die Integrationsgrenzen schon mittransformiert hast.

Grüße Abakus smile

EDIT: 1. Rechtschreibung; 2. aus der Rechnung von Gast geht es auch hervor

19.04.2006, 19:49

HerrPythagoras

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heißt also, wenn ich die integrationsgrenzen änder muss ich nicht mehr rücksubstituieren?

prima, hervorragend Big Laugh

vielen dank, hat der tag doch noch nen ende smile

19.04.2006, 20:00

Abakus

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Dein bestimmtes Integral soll beim Transformieren ja gleich bleiben. Daher sind Substitution des Integranden und Substitution der Integrationsgrenzen genau "entgegengesetzt", d.h. der Effekt hebt sich auf.

Gast hat es etwas anders gemacht: zuerst eine Stammfunktion ausgerechnet und dann erst eingesetzt (was natürlich auch geht).

Grüße Abakus smile

19.04.2006, 20:06

_Gast_

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Welchen Weg man einschlägt, ist letztlich auch Geschmackssache. Muss dabei auch gestehen, dass mir die Sache mit den Grenzen immer etwas Probleme bereitet hat, deswegen mache ich's lieber so, dass ich mir erst die Stammfunktion suche. smile

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