Extremwertaufgabe

10.07.2008, 15:55

Tala

Extremwertaufgabe

hey,

ich hoffe ihr könnt mir helfen, ich komm echt nicht drauf, weiß nicht, was ich da noch machen soll... die aufgabe geht ungefär so:

2 Straßen kreuzen sich rechtwinklig; auf der einen straße kommt ein Auto mit v= 3m/s (abstand zum Kreuzungspunkt= 70m) auf der anderen eines mit v= 4m/s und einem Abstand von 60m zur Kreuzung -
beide fahren auf die Kreuzung zu und jetzt soll man bestimmen, wann die Entfernung der Autos zueinander am kleinsten ist.

was ich brauche ist jetzt wohl eine Funktion, deren Ableitung dann null-gesetzt werden kann; aber wie komme ich auf diese Funktion?

Meine bisherige Überlegung war, dass der Abstand der beiden Autos sich ja aus ihren beiden Abständen zur Kreuzung zusammensetzt, also dass Abstand gesamt= Abstand1 + Abstand2.
Die einzelnen Abstände hatte ich so bestimmt, dass ich die zurückgelegte Strecke s=v*t vom jeweiligen Anfangs-abstand abgezogen hab -
damit komm ich dann auf eine Funktion für den Abstand A(x)= -7t + 130m. bei größeren x-werten wird die Funktion dann aber leider negativ, was ja nicht sein kann, da der Abstand ja wieder ansteigen muss.

vielleicht kann mir ja jemand helfen,
das wär echt super!

10.07.2008, 16:20

mathe760

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Ich komm auf die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(t)= \frac{25\cdot t^2}{s^2} -\frac{900\cdot t}{s} +8500 \end{eqnarray*}$

Nun brauchst du noch eine Nebenbedingung für t und s.

Bis denn mathe760 Wink

10.07.2008, 17:32

riwe

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wenn sich die beiden autos mit konstanter geschwindigkeit bewegen hätte ich mit $\begin{eqnarray*} s = vt \end{eqnarray*}$ zu bieten:

$\begin{eqnarray*} f(t)=(70-3t)^2+(60-4t)^2 \end{eqnarray*}$

was bedeutet, dass das schnellere auto die kreuzung schon passiert hat und der minmale abstand zu diesem zeitpunkt d = 20m beträgt.

19.07.2008, 18:06

Tala

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hm, also ich komme jetzt mit Pythagoras auf ein ähnliches Ergebnis wie riwe, nur müsste die Funktion doch eigentlich unter der Wurzel stehen, oder?

weil Pythagoras sagt ja, dass das Quadrat des Abstandes zwischen den beiden Autos gleich der Summer aus den Quadrate der anderen beiden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks ist.
Der Abstand selbst wäre dann die Wurzel davon, also

A(t)= [Wurzelanfang] (60-4t)^2 + (70-3t)^2 [Wurzelende]
nur weiß ich ab dann nicht mehr weiter, da ich die Funktion jetzt ableiten will, aber ich einfach nicht auf ein schönes Ergebnis komme (nur auf ganz viele wurzeln)

vielleicht kann mir da noch jemand helfen?

lg

19.07.2008, 18:10

kiste

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Anstatt $\begin{eqnarray*} A(t) \end{eqnarray*}$ kannst du auch $\begin{eqnarray*} A^2(t) \end{eqnarray*}$ minimieren denn die Wurzelfunktion ist monoton und stets positiv

19.07.2008, 18:29

Tala

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also wenn das geht, wäre ja mein Problem gelöst, aber wie kann man das begründen?

19.07.2008, 18:32

WebFritzi

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Zitat:

Original von kiste
die Wurzelfunktion ist monoton und stets positiv

19.07.2008, 18:41

Tala

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ja und welche "die Wurzelfunktion"??

welche meiner Funktionen ist die wurzelfunktion?
und warum ist die immer positiv, woran sieht man das? oder ist das generell so?

(ich komm mir grad echt dumm vor, nachfragen zu müssen, aber ich versteh nicht, was mit diesem Satz gemeint ist, auch wenn ihn vielleicht noch ein paar Leute zitieren)

19.07.2008, 19:17

WebFritzi

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Na, du wirst doch wohl die Wurzelfunktion

$\begin{eqnarray*} x\mapsto \sqrt x\quad(x\ge 0) \end{eqnarray*}$

kennen, oder?

20.07.2008, 09:46

Tala

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erstmal danke, ja das ist eigentlich klar; aber was ich halt nicht verstehe ist, warum man dann die Funktion A^2(t) nehmen darf, anstelle der eigentlichen A(t);

A(t) ist monoton und immer positiv (das hab ich soweit verstanden hoff ich), weil die ganze Funktion ja unter der Wurzel steht und nicht negativ sein darf -
aber sie muss ja auch an der gleichen Stelle ihre Extremwerte haben, oder? Sonst bringts mir ja nichts, wenn ich A^2(t) ableite.
Kann man das auch irgendwie begründen?

20.07.2008, 10:24

kiste

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Nein A(t) ist eben nicht monoton, sonst müssten wir ja auch keine Extrema davon berechnen Augenzwinkern

Es gilt folgendes:
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist hat genau dann an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ einen Extrempunkt wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt f \end{eqnarray*}$ einen Extrempunkt an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ hat.

Für diesen Satz braucht du das $\begin{eqnarray*} x \mapsto \sqrt x \end{eqnarray*}$ monoton ist, denn dadurch bleiben die Extrema auch Extremstellen, und positiv damit die Art des Extremus bestehen bleibt.

Oder eine andere Betrachtensweise:
Du hast eine Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ an der $\begin{eqnarray*} A(x_0) \end{eqnarray*}$ minimal ist.
D.h. $\begin{eqnarray*} A(x_0) < A(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_0 \neq x \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .
Dann ist doch auch $\begin{eqnarray*} A(x_0)^2 < A(x)^2 \end{eqnarray*}$ also bleibt es nach dem quadrieren immer noch minimal (hierfür brauchst du das positiv den -2 < 1 aber 4 > 1)

20.07.2008, 14:43

mYthos

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Die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} A(t) = \sqrt{f(t)} \end{eqnarray*}$ lautet nach der Kettenregel

$\begin{eqnarray*} A'(t) = \frac{f '(t)}{2 \sqrt{f(t)}} \end{eqnarray*}$

Somit hat die Funktion A(t) an derselben Stelle ihr Extremum wie f(t), wenn auf Extremstellen, deren Funktionswerte kleiner oder gleich Null sind, verzichtet wird.

mY+

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