globale Extrema mit Nebenbedingung

10.07.2008, 16:15

Angel87

globale Extrema mit Nebenbedingung

in der aufgabe ist eine funktion mit nebenfunktion gegeben und man soll die globalen extrema bestimmen.
die möglichkeiten die sich ergeben sind:

$\begin{eqnarray*} x=0 und y =0 und x^2+y^2-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=0 und \lambda=3 und x^2+y^2-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda=-\frac{5}{2} und y=0 und x^2+y^2-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda=-\frac{5}{2} und \lambda=3 und x^2+y^2-1=0 \end{eqnarray*}$

wie komme ich bei der 4. möglichkeit auf den vektor?

10.07.2008, 16:21

hxh

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Könntest du vielleicht noch die genaue Aufgabenstellung posten?

10.07.2008, 16:24

Angel87

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Geben Sie die globalen Extremstellen der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y):= (x+3)^2+(y-4)^2 \end{eqnarray*}$ unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$ an.

10.07.2008, 16:33

hxh

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du stellst deine Lagrangefunktion leitest diese ab und setzt alle glechungen Null. Dann suchst du die Lösungen für x und y die zutreffen und vergleichst die Funktionswerte der gefundenen Fälle.
Da wir uns in einem kompakten Intervall befinden nimmt die Funktion auch ihr Extremum an.
Pass auf Fallunterscheidungen auf , dann sollte das klappen, so wies aussieht stimmen deine Werte glaube ich nicht.

10.07.2008, 16:37

Angel87

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danke, dann versuche ich es nochmal.

10.07.2008, 16:44

hxh

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poste doch mal schritt für schritt was du machst

10.07.2008, 16:48

Angel87

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ich versuche kurz die zu ende zu rechnen...

10.07.2008, 16:57

Angel87

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habe zuerst $\begin{eqnarray*} F(x,y,\lambda )= x^2+6x+y^2-8y+25+\lambda x^2+\lambda y^2-\lambda \end{eqnarray*}$ gebildet. dann zuerst nach x, dann nach y und danach nach lambda abegleitet:

$\begin{eqnarray*} 2x+6+2x\lambda = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2y-8+2y\lambda = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2-1=0 \end{eqnarray*}$

jetzt bekomme ich folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} x=0 oder\lambda = -4 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} y=0 oder\lambda = 3 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2-1 =0 \end{eqnarray*}$

jetzt ergeben sich die Möglichkeiten:
$\begin{eqnarray*} x=0 und y =0 und x^2+y^2-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=0 und \lambda=3 und x^2+y^2-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda=-4 und y=0 und x^2+y^2-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda=-4 und \lambda=3 und x^2+y^2-1=0 \end{eqnarray*}$

jetzt habe ich wieder das Problem mit 2mal lamda und ich kann den Vektor nicht bestimmen...

10.07.2008, 17:02

hxh

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wie bekommst das denn raus also ich würde mal (1) und (2) umstellen dann

(1): (2) woraus folgt $\begin{eqnarray*} \frac{2x+6}{2y-8} = \frac{\lambda x}{\lambda y} \end{eqnarray*}$

den Fall y=0 muss man dan gesondert betrachten und für y ungleich null : y= -4/3 x

das setzt man dann in (3) usw..

10.07.2008, 17:08

Angel87

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sorry, verstehe nicht was du meinst

10.07.2008, 17:11

hxh

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habe mir gedanklich mit (1) die partielle Ableitung nach x gekennzeichnet
mit (2) die patielle Ableitung nach y
und (3) die nach lambda

und dann bilde ich den Quotienten aus (1) und (2) um das Lambda zu eliminieren

10.07.2008, 17:14

Angel87

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ah ok, jetzt verstehe ich

10.07.2008, 17:42

Dual Space

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Zitat:

Original von hxh
also ich würde mal (1) und (2) umstellen dann

(1): (2) woraus folgt $\begin{eqnarray*} \frac{2x+6}{2y-8} = \frac{\lambda x}{\lambda y} \end{eqnarray*}$

den Fall y=0 muss man dan gesondert betrachten

und y=4 ebenfalls ... von solchen Spielereien (Gleichungen miteinander zu dividieren) halte ich gar nichts.

Einfacher geht es, wenn du (1) mit y und (2) mit x multiplizierst (x=0 oder y=0 sind sowieso nicht möglich) und dann die resultierenden Gleichungen subtrahierst.

10.07.2008, 17:44

hxh

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ja stimmt , machts hier wirklich aufwändiger weil man mehr fälle bekommt...

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