Minimum, Maximum

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10.07.2008, 17:30	kalli	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimum, Maximum hi, hab hier z.B. die funktion $\begin{eqnarray} f(x) = x^4+x^3-2x^2 \end{eqnarray}$ angenommen ich betrachte jetzt das Intervall [-1,2]. wenn jetzt die Fragestellung wäre, "nenne alle globalen und lokalen Extrema" dann wäre doch x=0 und x=1 (lok. Hochpkt. bzw. lok. Tiefpkt) wobei $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 2} = f(2) = 16 \end{eqnarray*}$ kein Extremum wäre oder ?? (bezogen auf das Intervall [-1,2] das globale minimum wäre bei ca. -1 und einen glob. hochpunkt gibt es nicht. (werte wurden etwas geschätzt )
10.07.2008, 17:34	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
die tatsache , dass die globalen extrema auf dem rand des intervalls liegt ja durch die Zeichnung nahe , lokale sind richtig. Da hier auch nur Nennen steht kannst das ja ablesen wie du wohl getan hast.
10.07.2008, 17:37	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine stetige reellwertige Funktion nimmt auf einem abgeschlossenen, beschränkten Intervall immer Maximum und Minimum an, d.h. daran dass ein globales Maximum nicht existieren könnte, darfst du gar nicht erst denken Das liegt entweder am Rand oder halt bei einem lokalen Maximum. Wo es hier liegt, hast du eigentlich mit $\begin{eqnarray} f(2) = 16 \end{eqnarray}$ schon bestimmt.
10.07.2008, 17:38	kalli	Auf diesen Beitrag antworten »
> die tatsache , dass die globalen extrema auf dem rand des intervalls liegt ja durch die Zeichnung nahe jetzt hast du mich nur noch mehr verwirrt !! sind die randwerte jetzt extrema ?
10.07.2008, 17:40	kalli	Auf diesen Beitrag antworten »
dass heisst wenn ich [-1,2] betrachte hab ich ein globales min. bei f(-1) , ein lok. max. bei f(0) und ein glob. max. bei f(2) ?
10.07.2008, 17:43	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein lokales Minimum gibt es auch noch.
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10.07.2008, 17:45	kalli	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, stimmt. wenn ich aber die funktion als ganzes betrachte hätte ich bezogen auf die Globalen, nur 1 globales extremum, näml. ein minimum bei -1 ?
10.07.2008, 17:47	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir sind doch eben zu der Erkenntnis gekommen, dass bei x = 2 ein globales Maximum liegt. Wie kommst du denn nun darauf, dass es nur ein globales Extremum gibt?
10.07.2008, 17:51	kalli	Auf diesen Beitrag antworten »
na wenn ich die ganze funktion betrachte
10.07.2008, 17:53	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung, das habe ich nicht gelesen, dass du jetzt ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ als Definitionsbereich wählst. Dann hast du wegen $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \end{eqnarray}$ Recht, es gibt kein globales Maximum. Ich hätte bei meinem obigen Post das Intervall auch noch mit "beschränkt" charakterisieren sollen, die Abgeschlossenheit alleine reicht nicht.
10.07.2008, 17:57	kalli	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn jetzt das intervall [-1,2[ wäre, dann wäre gibt es dann auch ein globales max. ?
10.07.2008, 18:00	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Dann gäbe es kein globales Maximum, weil die Funktion ja anschaulich gesprochen nur beliebig nah an die 16 rankommt, aber sie nicht erreicht. Das heißt jede Zahl kleiner als 16 wird überschritten, aber die 16 selbst nie erreicht. Es lässt sich also kein globales Maximum finden. Das sähe anders aus, wenn es zwischendrin irgendwo ein lokales Maximum $\begin{eqnarray} x_M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x_M) \geq 16 \end{eqnarray}$ gäbe. Das ist hier aber nicht der Fall.

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