Geometrisch und Arithmetische Folgen und Reihen - Seite 2

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21.04.2006, 21:58	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok alles klar nun bei Aufgabe a ist noch gefragt wie viele Tiere bis einschließlich zur 9 Generation leben bzw gelebt haben, da hab ich mit Hilfe der Geometrischen Summe 1022 raus. und bei Aufgabe b ist halt gefragt in welcher Generation wird dann die Anzahl der Tiere die in dieser generation leben erstmals eine betstimmte Grenze, die mit K1 bezeichnet wird überschreiten, und bis einschließlich zu dieser generation leben gelebt haben erstmals eine bestimmte Grenze die mit K2 bezeichnet sei überschreiten. Das K1 bzw K2 soll nur die Bezeichnung der grenze darstellen. Gruß Kira
21.04.2006, 22:06	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1022 \end{eqnarray}$ ist richtig; Für die zweite Frage setzt du das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -te Glied größer als $\begin{eqnarray} k_1 \end{eqnarray}$ , für die letzte Frage die Summe von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Gliedern größer als $\begin{eqnarray} k_2 \end{eqnarray}$ und löst jeweils nach $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Hilft dir das soweit? mY+
21.04.2006, 22:22	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
Jein verstehe was Du meinst wenn ich nun z.B n>k1 und Summe von n >k2 dann kann ich doch einen beliebigen Wert fürk1 einsetzen der größer ist als n soll ich dann auch noch was ausrechnen, eigentlich sind wir doch fertig
21.04.2006, 22:43	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, so nicht, hust Es soll nicht n > k1 sein, sondern a_n > k1 !! Und daher sind $\begin{eqnarray} k_1, k_2 \end{eqnarray}$ als fix vorgegebene allgemeine Größen anzusehen und somit $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von diesen anzugeben! Ich helfe dir mal beim ersten: $\begin{eqnarray} 2 \cdot 2^{n - 1} > k_1 \end{eqnarray}$ Die 2-er Potenzen zusammenfassen, dann logarithmieren; dabei gilt: Wenn a > b, ist auch log(a) > log(b) Nach n lösen! mY+
21.04.2006, 22:55	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment ich muss also n berechnen [latex]4*
21.04.2006, 23:08	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert! Beim Logarithmieren kann man als Basis des Logarithmus eine beliebige Basis wählen, vorzugsweise e (ln) oder 10 (lg). Wir schreiben auch einfach $\begin{eqnarray} log \end{eqnarray}$ für den Logarithmus bezüglich einer allgemeinen Basis. Was ergibt nun $\begin{eqnarray} 2 \cdot 2^{n - 1} \end{eqnarray}$ tatsächlich? Den Logarithmus (nimm mal den ln) kannst du dann nach $\begin{eqnarray} ln(2^x) = x \cdot ln(2) \end{eqnarray}$ berechnen ... mY+
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21.04.2006, 23:13	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich würde gerne den 10 log benutzen den log e kenne ich leider noch nicht also mache ichs mit dem 10er $\begin{eqnarray} \frac{2log_10}{2log_10}+1 \end{eqnarray}$
21.04.2006, 23:25	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Kind Gottes, was da steht, ist keine Beziehung, sondern nur ein Term! Und der ist sehr mysteriös! Wo ist $\begin{eqnarray} n, \end{eqnarray}$ wo ist $\begin{eqnarray} k_1 \end{eqnarray}$ ? Schreibe für $\begin{eqnarray} ^{10}log \end{eqnarray}$ einfach $\begin{eqnarray} lg \end{eqnarray}$
21.04.2006, 23:30	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
Also n soll ich doch berechnen oder nicht, wie wäre es dnn korrekt möchte nicht wieder was falsch machen und stimmt das k1 verschwindet bei mir auch einfach Komme im moment nicht drauf
21.04.2006, 23:32	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast noch nicht gesagt, was du nun für $\begin{eqnarray} 2 \cdot 2^{n - 1} \end{eqnarray}$ erhältst ... . Hinweis, es ist eine einzige Potenz in 2!
21.04.2006, 23:35	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erhalte 2,
21.04.2006, 23:42	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
..da ist dir das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ noch abhanden gekommen! $\begin{eqnarray} 2 \cdot 2^{n-1} = 2^{1+n-1} = 2^n \end{eqnarray}$ Somit: $\begin{eqnarray} 2^n > k_1 \end{eqnarray}$ So, und nun logarithmierst du Ganze: $\begin{eqnarray} n \cdot lg(2) > lg(k_1) \end{eqnarray}$ Was folgt daraus für n? mY+
21.04.2006, 23:45	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 8 \cdot lg(2) > lg(k_1)=4 \end{eqnarray}$ war das n bekannt oder bin ich total falsch jetzt
21.04.2006, 23:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo ist das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ hingekommen? Du solltest doch die Ungleichung nach $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ lösen! Einfach durch lg(2) dividieren (dieser ist positiv, daher ändert sich das Relationszeichen nicht): $\begin{eqnarray} n > \frac{lg(k_1)}{lg(2)} \end{eqnarray}$ DAs ist das Ergebnis! So hättest eigentlich DU das rechnen sollen! Nun zur letzten Frage (wir wollen doch vor morgen früh fertig werden ): Rechne mal die Summe von n Gliedern aus (mit der Summenformel, q = 2 und n beibehalten, d.h. drinnen lassen) $\begin{eqnarray} s_n = .. \end{eqnarray}$ Diese Summe soll größer als $\begin{eqnarray} k_2 \end{eqnarray}$ sein.
22.04.2006, 00:03	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so das Ergebnis habe ich nun verstanden hat es gar keinen bestimmten Zahlenwert, ? zu der letzten $\begin{eqnarray} a_1\frac{2^n-1}{q-1}>k2 \end{eqnarray*}$
22.04.2006, 00:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Zahlenwert erhält das Ergebnis sofort nach Belegung der Variablen $\begin{eqnarray} k_1 \end{eqnarray}$ mit einer geeigneten Zahl; z.B. $\begin{eqnarray} k_1 = 2000 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n > \frac{lg(2000)}{lg(2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n > \frac{3,30103}{0,30103} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n > 10,97 \end{eqnarray}$ Das Ergebnis besagt, dass ab der 11. Generation die Anzahl der in der letzten Generation lebenden Individuen größer als 2000 ist. ----------------- Und nun zu deiner letzten Rechnung: Im Nenner auch q = 2 setzen, also kommt dort 1, und wiederum für $\begin{eqnarray} a_1 = 2 \end{eqnarray}$ . Dieser Ausdruck soll nun größer als $\begin{eqnarray} k_2 \end{eqnarray}$ sein. Schreibe bitte mal die entsprechende Ungleichung auf, diese werden wir umformen und dann ebenfalls logarithmieren. mY+
22.04.2006, 00:30	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_1\frac{2^n-1}{2-1}=1>k2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_1=2^n>k2 \end{eqnarray*}$
22.04.2006, 00:53	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ ist doch 2 zu setzen! Was ist mit dem Malzeichen () passiert? Wo ist das -1 hingekommen? Du schreibst eine Gleichung und gleichzeitig auch eine Ungleichung hin? Richtig wäre: $\begin{eqnarray} 2 \cdot (2^{n} - 1) < k_2 \end{eqnarray}$ Isoliere nun daraus $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ , d.h. stelle nach $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ um, dann logarithmiere beide Seiten (ähnlich wie vorhin). Teste dann mit beliebigem $\begin{eqnarray} k_2 > 1000 \end{eqnarray*}$ mY+
22.04.2006, 16:01	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
OK $\begin{eqnarray} 2(2^n-1)=4^n-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} nlg(2)>lg(k2)-2 \end{eqnarray}$ für K2>100 $\begin{eqnarray} \frac{lg1000}{lg2}-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{3}{0,30103}-2=7,96578 \end{eqnarray}$
22.04.2006, 18:41	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Liebe Kira, du scheinst Schwierigkeiten mit den Grundregeln der Potenzrechnung zu haben. $\begin{eqnarray} 2 \cdot 2^n \end{eqnarray}$ ist nicht $\begin{eqnarray} 4^n \end{eqnarray}$ , vielmehr gilt $\begin{eqnarray} 2 \cdot 2^n = 2^1 \cdot 2^n = 2^{1+n} \end{eqnarray}$ die Basis bleibt während dieser Operation gleich. Dadurch ist natürlich die nachfolgende Rechnung - wenngleich dort wiederum noch andere Fehler aufscheinen - nicht richtig. $\begin{eqnarray} 2^n - 1 > \frac{k_2}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2^n > \frac{k_2}{2} + 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2^n > \frac{k_2 + 2}{2} \end{eqnarray}$ Daraus ist nun n durch Logarithmieren zu ermitteln ... und prüfen z.B. mit $\begin{eqnarray} k_2 = 1000 \end{eqnarray}$ (n > 8,96, also n = 9) oder $\begin{eqnarray} k_2 = 5000 \end{eqnarray}$ (n > 11,3) mY+
22.04.2006, 18:50	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun da hast Du recht habe wirklich Probleme bzw Wissenlücken bei der Potenzrechnung, und auch bei den Logarithmusregeln bin gerade dabei das alles auzuarbeiten den Logarithmus hatte ich in meiner gesamten Schulzeit nie gelernt, und nun brauche ich den $\begin{eqnarray} 2 \cdot 2^n = 2^1 \cdot 2^n = 2^{1+n} \end{eqnarray}$ Frage hier lieber noch mal nach und zwar in wie weit hast Du die Therme noch umgeformt um unterher mir ist nur nicht klar warum da auf einmal + 2 steht und nicht mehr + 1 , der Rest ist mir klar $\begin{eqnarray} 2^n > \frac{k_2 + 2}{2} \end{eqnarray}$ zu erhalten ich erhalte bei 1000= 9,96 und bei 5000= 12,3 also irgendwo mache ich einen Fehler
22.04.2006, 19:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
.. hier nicht zu $\begin{eqnarray} 2^{1+n} \end{eqnarray}$ vereint, denn wir wollten ja $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ isolieren! Also einfach nach $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ umstellen. Zuerst wurden beide Seiten durch 2 dividiert, dann auf beiden Seiten 1 addiert. mY+
22.04.2006, 19:05	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok super ist mir auch klar geworden Um das jetzt abschließend nocheinmal ausfürhlich zu schreiben $\begin{eqnarray} 2^n > \frac{k_2 + 2}{2} \end{eqnarray}$ zu erhalten teile ich hierbei auch wieder durch 2 und ziehe den Logarithmus richtig komme nämlich noch nicht auf die Endergebnisse
22.04.2006, 19:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die nächste Zeile sag' ich dir noch: $\begin{eqnarray} n \cdot lg(2) = lg(k_2 + 2) - lg2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} lg(k_2 + 2) \end{eqnarray}$ muss so stehen bleiben, lg einer Summe kann man nicht auflösen! P.S: Muss jetzt weg, komme erst spätabends wieder, wenn's dringend sein sollte, kann ja noch wer anderer "finalisieren" mY+
22.04.2006, 19:28	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok macht ja nichts muss allerdings auch selber gleich weg, ich kann das auch später zu Ende machen auf den Tag kommt es nicht an , ist mir nur wichtig das ich das dann verstanden habe, möchte ja schließlich auch das die ganze Zeit und Arbeit hier was bringt. $\begin{eqnarray} 2^n - 1 > \frac{k_2}{2} \end{eqnarray}$ könnte ich das nicht auch daraus errechnen bis zu diesem Punkt ist mir die sache nämlich 100% klar, bei den nachfolgenden Umformungen habe ich Schwierigkeiten bzw den Vereinfachungen bis hin zum Ergebnis Gruß Kira
22.04.2006, 23:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Beziehung nicht mehr weiter entwickelst, kannst du zwar dort für $\begin{eqnarray} k_2 \end{eqnarray}$ eine Zahl einsetzen, musst aber dann erst recht die weiteren Rechenschritte unternehmen, um zu $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ zu kommen. Bei einer anderen Zahl für $\begin{eqnarray} k_2 \end{eqnarray}$ wiederholt sich der ganze Sermon wieder, und du hast nochmals die gleiche Arbeit. Aus diesem Grund rechnet man allgemein so weit als möglich, also bis zum Endergebnis (für n), damit man dort nur mehr die Zahl für $\begin{eqnarray} k_2 \end{eqnarray}$ einzusetzen hat. Wie steht es denn in deinem Lösungsheft? Ich nehme doch an, dass du zum selben Ergebnis kommen willst. mY+
23.04.2006, 00:58	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
In meinem Heft steht leider gar nichts dazu, wir haben die Aufgaben von unserem Prof. bekommen beschrechen sie aber leider nicht an der Uni. Das ist irgendwie schon blöd habe jetzt aber eh bald alle Aufgaben gelöst und verstanden, wobei diese mir die größsten Schwierigkeiten bereitet Also noch mal zurück zu den Umformungen Ich muss n also isolieren als erstes bringe ich die 1 auf die andere Seite und erhalte $\begin{eqnarray} 2^n - 1 > \frac{k_2}{2} \end{eqnarray}$ diese Gleichung $\begin{eqnarray} 2^n > \frac{k_2}{2} + 1 \end{eqnarray}$ was mache ich aber nun hierbei dann muss ich noch durch 2 oder wie geht es dann weiter (der schritt ist mir nicht so ganz klar ) $\begin{eqnarray} 2^n > \frac{k_2 + 2}{2} \end{eqnarray}$ d dann logarithmiere ich und erhalte $\begin{eqnarray} n \cdot lg(2) = lg(k_2 + 2) - lg2 \end{eqnarray}$ (das habe ich verstanden) wie gehts dann weiter
23.04.2006, 16:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur noch durch $\begin{eqnarray} lg(2) \end{eqnarray}$ dividieren, dann bist du schon fertig! $\begin{eqnarray} n = \frac{lg(k_2 + 2) - lg(2}{lg(2)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n = \frac{lg(k_2 + 2)}{lg(2)} - 1 \end{eqnarray}$ Voilá! mY+
23.04.2006, 16:27	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine kleine Frage und dann bin ich endlich fertig als erstes bringe ich die 1 auf die andere Seite und erhalte $\begin{eqnarray} 2^n > \frac{k_2 + 2}{2} \end{eqnarray}$ diese Gleichung $\begin{eqnarray} 2^n > \frac{k_2}{2} + 1 \end{eqnarray}$ was muss ich nun aber machen um diese zu erhalten $\begin{eqnarray} 2^n > \frac{k_2 + 2}{2} \end{eqnarray}$ Dann hab ich alles Lese aber im Moment den thread noch mal ganz genau durch
23.04.2006, 16:59	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
In deiner letzten Zeile wurde die rechte Seite der Ungleichung lediglich auf gemeinsamem Nenner gebracht. mY+
23.04.2006, 17:12	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
Super vielen vielen dank für Deine super Hilfe habe die Aufgabe komplett in meinen Unterlagen und verstehe sie nun auch . Bein problem an der Aufgabe lag eindeutig an den Potenz und Lagarithmus Regeln bzw Gesetzen, die schaue ich mir ersteinmal sehr gut an, damit ich die beim nächsten mal besser kann. Habe ja gesagt das mir gerne auf die aufgabe 4 nocheinmal zurück kommen können wenn ich mich erkundigt habe was da falsch gelaufen ist,nun tatsache ist das die ergebnis im Script wirklich falsch sind unsere aber richtig ich glaube c fehlte noch zum schluss von 4 moment ich schaue mal nach hier ist nochmal die Aufgabe Hallo zusammen habe mal wieder ein Problem bei der folgenden Aufgabe Bei der Preissoszillation gemäß dem sog. Spinnweb Theorem stieg der Preis in der 1. Periode um 96€ dann sank er von dem neuen Stand um 48€ dann stieg er wieder um 24€ usw. a.)Um wieviel € stieg oder sank der Preis in der 5. Periode? b.) Wie hoch ist der Preis in der 5 Periode, wenn der Anfangspreis 500€ betrug? c.) Wie hoch wird der endgültige Gleichgewichtspreis sein ? schaue mir die jetzt mal an
26.04.2006, 19:25	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi habe gesehen das mir noch immer die Teilaufgabe c fehlt, möchte die Aufgabe ja gerne komplett haben. Kann mir nur im moment nichts unter Gleichgewichtspreis vorstellen Gruß Kira
27.04.2006, 01:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hatten wir doch schon! Dieser (Gleichgewichtspreis) ist der Anfangspreis (wie groß war dieser?) plus dem Grenzwert der geometrischen Reihe 96 - 48 + 24 - 12 + .... Verwende dazu die Summenformel der unendl. g. R. mY+
27.04.2006, 09:32	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
Hatten wir schon kanns nicht finden hier im Thread, wenn wirs hatten brauche ich es ja nicht noch mal machen (habe c und d durchander gebracht ) Also nur das ich das jetzt richtig verstehe bei d hatte ich berechnet $\begin{eqnarray} a_1=96 ;lim =64 \end{eqnarray}$ wenn ich den 1 Preis addiere mitd em Grenzwert 64 erhalte 160 und davon muss ich jetzt die Geometrische Summe berechnen richtig und erhalte $\begin{eqnarray} s_n=\frac{160}{1-(-0,5)}=106,66 \end{eqnarray}$ Woran erkenne ich überhaupt das es sich hierbei um eine Geometrische unendliche Folge handelt ? Gruß Kira
27.04.2006, 21:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Die 96 gehören zu dem Grenzwert der Reihensumme dazu, d.h. du müsstest noch einen anderen Anfangspreis gegeben haben (160? Woher kommen die?). Falls nicht und 96 der Anfangspreis war, dann sind die 64 bereits der Gleichgewichtspreis. Ansonsten - wenn 160 der Anfangspreis war - muss der Grenzwert 64 zu dem Anfangspreis (160) addiert werden! Die 160 sind NICHT das Anfangsglied der geometrischen Folge, sondern erst die 96. Geometrische Folge deshalb, weil die Folgeglieder immer durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor $\begin{eqnarray} (q = -\frac{1}{2}) \end{eqnarray}$ aus den vorhergehenden Gliedern hervorgehen, unendlich, weil der Grenzwert der sich immer weniger ändernden Preisschwankungen gefragt ist (der Betrag von q muss dabei kleiner als 1 sein). mY+
27.04.2006, 22:02	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
Super Danke für die Erklärung Mythos Du fragst woher die 160 kommen die habe ich folgendermassen berechnet $\begin{eqnarray} a_1=96 ;lim =64 \end{eqnarray}$ = 160 Gruß Kira
27.04.2006, 22:11	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie gesagt, das stimmt so nicht, sh. die vorige Erklärung. mY+
28.04.2006, 08:50	Kira 007	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar dann ist der Gleichgewichtspreis 64 € Sehe gerde bei der Aufgabe das ich eine teilaufgabe vergessen habe , stelle sie heute Abend rein, sorry das ich die übersehen habe Sollte aber nichts an den anderen ändern Gruß Kira

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