Testtheorie: Test um Varianz

10.07.2008, 20:52

aRo

Testtheorie: Test um Varianz

Hallo!

Irgendwie glaube ich gedanklich nahe daran zu sein, die Lösung zu verstehen, aber doch eben nicht wirklich unglücklich

Ich hoffe, ihr könnt mir mit ein paar schlauen Worten unter die Arme greifen Augenzwinkern

Es geht um die monatliche Niederschlagsmenge, von der man ausgehen soll, dass sie durch eine normalverteilte ZV mit erwartungswert und varianz beschrieben werden kann.

Es ist ein Schätzer für die Varianz gegeben:
$\begin{eqnarray*} \sigma^2 = 81.7 \end{eqnarray*}$ (wie macht man diesen Hut?)

a) Bestimmen Sie ein oberes 90% Konfidenzintervall für die Varianz.

b) Testen Sie zum Signifikanzniveau alpha = 10%
H0: Varianz <= 60 gegen H1: Varianz > 60

Die a) ist einfach aber mit der b) habe ich so meine Verständnisschwierigkeiten.

Wir haben bisher nur Tests um den Erwartungswert gehabt, wie teste ich jetzt um die Varianz?
Und wie genau hängt das mit dem Konfidenzintervall zusammen?

Also die Lösung ist, eine Entscheidungsregel zu entwerfen:

Verwerfe H0, falls $\begin{eqnarray*} \sigma^2 > \frac{\sigma_0^2}{n-1}\chi^2(n-1)_{1-alpha} \end{eqnarray*}$ (erstes sigma mit Hut)

Das erinnert verdammt, an die untere Grenze des Konfidenzintervall aus der a).

Aber mir ist eben noch nicht ganz klar, warum das so ist.

Also, ich weiß, dass 90% der Daten über der Grenze des KonfIntervalls liegen.
Ich will, dass der Fehler H1 zu wählen, obwohl H0 richtig war, kleiner gleich 10% ist.

Wieso scheine ich zu fordern, dass mein Sollwert $\begin{eqnarray*} \sigma^2_0 \end{eqnarray*}$ kleiner sein muss, als eben diese Grenze zum Verwerfen?

*grad verwirrt*

danke!

10.07.2008, 21:07

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Zitat:

Original von aRo
Also, ich weiß, dass 90% der Daten über der Grenze des KonfIntervalls liegen.

Merkwürdige Formulierung: Konfidenzintervalle machen keine Aussagen über Daten, sondern über gewisse Parameter der Grundgesamtheit. Die Aussage ist, dass basierend auf der Stichprobe - komprimiert hier basierend auf der Stichprobenstreuung $\begin{eqnarray*} \hat{\sigma}^2=81.7 \end{eqnarray*}$ - die tatsächliche Varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ mit 90%-iger Sicherheit in dem berechneten Intervall liegt. Also nix mit "über der Grenze".

Zitat:

Original von aRo
Wieso scheine ich zu fordern, dass mein Sollwert $\begin{eqnarray*} \sigma^2_0 \end{eqnarray*}$ kleiner sein muss, als eben diese Grenze zum Verwerfen?

Wie kommst du darauf? Bei deinem Test ist $\begin{eqnarray*} \sigma_0=60 \end{eqnarray*}$ , und die angegebene Regel lehnt für sehr große Stichprobenstreuungen $\begin{eqnarray*} \hat{\sigma}^2 \end{eqnarray*}$ die Nullhypothese ab, ganz so wie es bei diesem einseitigen Test die Alternativhypothese vorsieht. Also wo sind da jetzt die Bauchschmerzen?

EDIT: Ach jetzt verstehe ich erst deine Frage: Du meinst, die Verwerfungsgrenze soll direkt 60 bzw. für die Varianz dann 60² sein?

Dann hast du die Bedeutung des Testniveaus $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ noch nicht verstanden: Dieser Wert gibt eine Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung einer richtigen Nullhypothese wieder (sogenannter Fehler 1.Art). D.h., je kleiner dieser Wert ist, desto vorsichtiger ist man mit einer solchen Ablehnung und legt die Messlatte entsprechend höher - in dem Fall hier die Messlatte für die Varianzgrenze, über der eine Ablehnung erfolgt.

Eine Verwerfungsgrenze von um die 60 würde dann eher zu einem Testniveau von etwa $\begin{eqnarray*} \alpha=0.5 \end{eqnarray*}$ gehören, sowas gibt es in der Praxis nicht.

10.07.2008, 22:36

aRo

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Zitat:

ok, sowas meinte ich =)

Zitat:

Ach jetzt verstehe ich erst deine Frage: Du meinst, die Verwerfungsgrenze soll direkt 60 bzw. für die Varianz dann 60² sein?

nein, leider nicht. Das mit dem Fehler 1.Art war mir schon klar.

Also:

Wie ich hierauf komme:

Zitat:

Wieso scheine ich zu fordern, dass mein Sollwert $\begin{eqnarray*} \sigma^2_0 \end{eqnarray*}$ kleiner sein muss, als eben diese Grenze zum Verwerfen?

Meine untere Grenze für das obere Konfidenzintervall aus Aufgabenteil a) ist: $\begin{eqnarray*} \frac{(n-1) \hat{\sigma}^2}{\chi^2 (n-1)_{1-\alpha}} \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt setze:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1) \hat{\sigma}^2}{\chi^2 (n-1)_{1-\alpha}} > \sigma_0^2 \end{eqnarray*}$ komme ich ja genau an meine Entscheidungsregel.

Vielleicht um mein Problem erstmal klar zu machen:
Wie kommt man auf diese Entscheidungsregel, daran denkend, was man in Aufgabenteil a) gemacht hat.

Und weiterhin gilt meine Frage von oben, die ich hier zitiert habe.
Das hat ja irgendwas mit 90% Konfintervall und 10% Fehler 1.Art zu tun...

10.07.2008, 23:26

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Zitat:

Original von aRo
Meine untere Grenze für das obere Konfidenzintervall aus Aufgabenteil a) ist: $\begin{eqnarray*} \frac{(n-1) \hat{\sigma}^2}{\chi^2 (n-1)_{1-\alpha}} \end{eqnarray*}$

Was ist ein "oberes Konfidenzintervall" ? Eines, was bis unendlich geht? verwirrt

Ach was, Scheiß-Testtheorie, die Fragen haben mir noch nie gefallen - vor allem, weil sich die Fragesteller immer so unklar ausdrücken. Teufel

10.07.2008, 23:28

aRo

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ja richtig.

dieses $\begin{eqnarray*} \chi^2(n-1)_{1-\alpha} \end{eqnarray*}$ ist das 1-alpha Quantil der Chi-Quadrat Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden. Aber das wusstest du wahrschienlich schon =)

10.07.2008, 23:36

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Ja, das ist schon klar. Außerdem ist klar dass die Nullhypothese des entsprechenden Tests genau dann abgelehnt wird, wenn der zu testende Wert $\begin{eqnarray*} \sigma_0 \end{eqnarray*}$ nicht im entsprechend zugehörigen unteren, mittleren oder oberen Konfidenzintervall (je nach Testalternative) reinpasst. Aber das jetzt nach links, rechts, oben, unten auszupuzzeln, ekelt mich wirklich an - weil es nur um Konventionen und Zuordnungen geht, aber nicht wirklich interessant ist. Kotzen

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