inhomogene DGL - allgm. Lösung bestimmen

10.07.2008, 21:56

DGLDoofie

inhomogene DGL - allgm. Lösung bestimmen

hab hier diese DGL, und es hapert an der berechnung des inhomogenen teil um die allg. inhomogenen lösung zu kriegen

$\begin{eqnarray*} y'' + 10y' - 24y = 2x² - 6x \end{eqnarray*}$

Ansatz für den inhomo. Teli

$\begin{eqnarray*} y_p = ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_p' = 2ax + b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_p' = 2a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a + 10(2ax + b) - 24(ax² + bx + c) = 2x² - 6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -24ax² - 20ax - 24bx + 10b + 2a - 24c= 2x² - 6x \end{eqnarray*}$

koeffizenten vergleich

$\begin{eqnarray*} -24a = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = - \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

so und jetzt fangen die Probleme an. ich hab noch ein -20ax und ein -24bx und ein -24c zu "verhackstückeln" was ich jetzt machen weis ich nicht mehr. mit koeffizenten vergleich bin ich jetzt erstmal gegen die wand gelaufen. wie löse ich das jetzt weiter?

10.07.2008, 21:59

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Zitat:

Original von DGLDoofie
mit koeffizenten vergleich bin ich jetzt erstmal gegen die wand gelaufen.

Warum denn schon aufgeben? Klappt doch prima! Setz jetzt deinen gefundenen Wert für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein und widme dich dem Koeffizient vor $\begin{eqnarray*} x^1=x \end{eqnarray*}$ , dann kriegst du $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ raus. Abschließend dann der konstante Koeffizient, also der zu $\begin{eqnarray*} x^0=1 \end{eqnarray*}$ , dann hast du auch $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .

10.07.2008, 22:02

DGLDoofie

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hm? versteh ich nciht ganz, wo soll ich was einsetzen um die anderen koeffizenten zu bestimmen?

10.07.2008, 22:02

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RE: inhomogene DGL - allgm. Lösung bestimmen

Zitat:

Original von DGLDoofie
$\begin{eqnarray*} -24ax² - 20ax - 24bx + 10b + 2a - 24c= 2x² - 6x \end{eqnarray*}$

10.07.2008, 22:11

DGLDoofie

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RE: inhomogene DGL - allgm. Lösung bestimmen
wenn a einsetze krieg ich das hier raus:

$\begin{eqnarray*} 2x² - (1/6)x - 24bx + 10b + (1/6) - 24c= 2x² - 6x \end{eqnarray*}$ wenn ich umformen

$\begin{eqnarray*} - 24bx + 10b - 24c= - \frac{37}{6}x - (1/6) \end{eqnarray*}$

hierrauf den koeff-vergleich

$\begin{eqnarray*} -24b = - \frac{37}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = - \frac{37}{144} \end{eqnarray*}$

ist laut lösung aber falsch

10.07.2008, 22:14

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Zitat:

Original von DGLDoofie
wenn a einsetze krieg ich das hier raus:

$\begin{eqnarray*} 2x² - (1/6)x - 24bx + 10b + (1/6) - 24c= 2x² - 6x \end{eqnarray*}$ wenn ich umformen

$\begin{eqnarray*} - 24bx + 10b - 24c= - \frac{37}{6}x - (1/6) \end{eqnarray*}$

Vorzeichenfehler: Du musst $\begin{eqnarray*} +\frac{1}{6}x \end{eqnarray*}$ addieren und erhältst somit

$\begin{eqnarray*} - 24bx + 10b + \frac{1}{6} - 24c= -\frac{35}{6}x \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Vergiss es, bei deiner Schlamperei muss man viel früher aufräumen, nämlich hier:

Zitat:

Original von DGLDoofie
$\begin{eqnarray*} 2a + 10(2ax + b) - 24(ax² + bx + c) = 2x² - 6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -24ax² - 20ax - 24bx + 10b + 2a - 24c= 2x² - 6x \end{eqnarray*}$

Da sind schon die ersten Vorzeichenfehler - richtig ist

$\begin{eqnarray*} - 24ax² + (20a -24b)x + 2a + 10b -24c = 2x^2 - 6x \end{eqnarray*}$ ,

ergibt Koeffizientenvergleich

$\begin{eqnarray*} -24a &=& 2\\ 20a-24b &=& -6\\ 2a+10b-24c &=& 0 \end{eqnarray*}$

10.07.2008, 22:20

DGLDoofie

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hm...ne da tut sich bei mir immernoch nichts, laut lösung ist das ergebnis für b = 13/72

lieg ich total daneben, meine lösung für a ist aber richtig. versteh nicht wieso ich da jetzt nicht drauf komme.

10.07.2008, 22:24

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Das kommt auch raus, siehe EDIT. Konzentriere dich mal beim Rechnen!

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