Strenge monotonie einer Funktion |
| 19.04.2006, 22:21 | Master | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Strenge monotonie einer Funktion Man gebe die hinreichende und die notwendige Bedingung dafür an, dass die Funktion überall in R streng monoton wächst. Gut, die Notwendige Bedingung scheint ja zu sein, dass die Ableitung (also die Steigung) immer größer null ist. Nur was ist die hinreichende und wie muss ich das überhaupt mit a,b,c und d machen? danke 
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| 19.04.2006, 22:24 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
man könnte z.B. als notwendig bezeichnen, dass die Ableitungsfunktion f'>=0 (mit gleich) ist. ist f'>0 dann ist das schon hinreichend Das gilt, wenn: a) f diffbar ist, sonst sagen wir mal gar nix von f' 
b) f keine Sprungstellen hat, wie z.B. f(x)=1/x an der Stelle 0 beides ist bei Polynomen gegeben |
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| 19.04.2006, 22:29 | Master | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn ich das jetzt so hinschreibe...also die hinreichende Bedingung und die notwendige die du geschrieben hast, ist dann nicht die AUfgabe so wie sie gestellt ist fertig? 
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| 19.04.2006, 22:30 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du könntest z.B. mal ableiten und mal schauen, wann denn diese Bedingungen wirklich gelten (Bedingungen für a,b,c,d aufstellen) Tipp: d ist sch... egal
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| 19.04.2006, 22:34 | Master | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also scheint a auch egal zu sein. Aber warum ist d egal? Wenn d negativ ist, rutscht die ganze ableitung doch ins negative? Z.b. wenn b=c=d=-1 ist. Für x=1 käme da -6 raus. |
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| 19.04.2006, 22:36 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(zu deinem Zwischenedit: doch ich antworte) meinte natürlich a ist egal, entschuldigung ging von einer Form f(x)=ax^3+bx^2+cx+d aus also nochmal ganz klar: a ist egal (das konstante Glied!) jetzt haste was quadratisches und kannst schauen, wann das >=, > usf 0 ist |
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| 19.04.2006, 22:47 | Master | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin nur grade damit überfordert...mit der PQ Formel bekomme ich einen Term der seinesgleichen sucht. Wie muss ich denn da rangehen? |
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| 19.04.2006, 22:53 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Stichwort ist hauptsächlich die Diskriminante D (das unter der Wurzel): das Ding muss zunächst mal über der x-Achse verlaufen, also muss schon mal d (hätte fast a gesagt
) >(=)0 sein. über = darfst du weiterphilosophieren.Ist sie schon mal größer als 0 und deine Funktione hat eine/zwei/keine Nullstellen, dann...... mehr als D musst du hier nicht betrachten |
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| 19.04.2006, 23:00 | Master | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
meinst du mit unter der Wurzel das Teil bei der PQ Formel? Mir sind andere Extremwertaufgaben mit konkreten Zahlen irgendwie lieber 
edit: für heute geb ichs auf, grad zwei Blätter vollgekritzelt 
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| 19.04.2006, 23:52 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja pq-Formel, abc-Formel.... egal. Das Vorzeichen des Radikanden entscheidet über die Anzahl der Lösungen. |
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| 22.04.2006, 18:03 | Master | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich stecke da irgendwie immernoch fest 
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| 22.04.2006, 18:33 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn du KONKRET fragen würdest, könnte man da helfen...... am besten mal zeigen, wie weit du da so kommst.... so kann ich nur sagen: schade. |
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| 22.04.2006, 18:59 | Master | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut, mal angenommen ich nehme die Formel, dann komme ich auf: Das einzige was ich da abgelesen kann, is dass d nicht gleich 0 sein darf, aber mehr sehe ich da nciht |
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| 22.04.2006, 19:38 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
für d=0 hast du eine andere Form, nämlich deine Ableitungsform ist linear, das kannst du als Extrafall behandeln.
hast du ja wohl nicht gelesen. |
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| 22.04.2006, 20:10 | Master | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe es gelesen, ich verstehe es nur irgendwie nicht. Wenn die Funktion zwei Nullstellen hat, kann sie ja nicht streng monoton sein ... Daraus folgt ja, dass sie eine oder keine hat.... also muss ja irgendwie c und b null sein ... aber wie das dann mit der PQ-Formel zusammenhängen soll und mit hinreichender und notwendiger Bedingung, will mir einfach nicht einleuchten. |
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| 22.04.2006, 20:16 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nicht die Funktion, die Ableitung, darum gehts! nehmen wir das hinreichende Kriterium, f'>0. dann überlegen wir uns, wann eine Parabel stets größer 0 ist. 1. muss gelten: nach oben geöffnet (sollte klar sein) 2. keine Nullstelle (sollte klar sein ?!) |
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| 22.04.2006, 21:38 | Master | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah, ich glaube mir ist da zumindestens ein kleines Lichtlein aufgegangen
1. Wenn sie nach oben geöffnet sein soll, muss das d > 0 sein. 2. Damit es keine Nullstelle gibt, muss b > 0 sein (sons wäre f'(0) <= 0) Aber c muss noch irgendwie von d abhängen, ansonsten könnte doch der Teilterm mit c größer werden als der mit d und auch noch negativ. Wie mach ich denn da weiter? Und der Sonderfall d=0 ..., dann muss doch c auch =0 sein ..und b >0 ...oder? |
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| 22.04.2006, 21:42 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, das letzte stimmt, für d=0 und c<>0 hättest du eine sicher nicht komplett monotone Parabel. könntest natürlich noch b=a=0 hinterherschieben, die (nicht strenge normale) Monotonie hättest dann auch Also lieber zum Normalfall d>0 zurück: die Bedingung, die du noch brauchst ist die Unlösbarkeit der einen Gleichung. Unlösbarkeit einer quadratischen Gleichung geht immer mit D<0 einher. Also sehe ich als letzte Bedingung auch nur noch den Zusammenhang 4c^2-12bd<0. (=> b>0 und b*d "groß genug") genauer wüsste ich auch nicht, wie man das noch angeben soll. edit: übrigens um das anschaulicher zu sehen eine polynomfunktion 3. Ordnung ist genau dann streng monoton, wenn sie keine Hoch/Tiefpunkte hat
mit unserem Wissen über solche Funktionen darf sie sogar eine solche Stelle haben (das muss dann ja ein Sattelpunkt sein), also kannst du sogar D=0 noch zulassen. |
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| 22.04.2006, 22:01 | Master | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn sie einen Sattelpunkt besitzt, ist sie doch aber nicht streng monoton, oder? Den Rest rechne ich aus, ich glaube ich habs jetzt taus 
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| 22.04.2006, 22:11 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zur strengen Monotonie von oder ähnlichen Funktionen mit Sattelpunkt lies dir mal das hier Bedeutung von "Notwendige Bedingung" durch. |
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