Kreis-Aufgabe mit Lösung - brauche Erläuterung. |
20.04.2006, 01:46 | MrY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kreis-Aufgabe mit Lösung - brauche Erläuterung. bereite mich grad auf Mathe-LK Abi-Prüfungen vor und komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: http://img357.imageshack.us/img357/558/scannen00022hk.jpg Bis d) war es kein Problem, aber jetzt steh ich irgendwie aufm Schlauch. |
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20.04.2006, 01:47 | MrY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
...und hier die Lösung... Kann wohl nur ein Bild posten. Naja, die Lösung ist hier: http://img357.imageshack.us/img357/6637/scannen00010cr.jpg Wär nett, wenn mir das mal jemand erläutern könnte. Ich verstehe irgendwie den Ansatz nicht |
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20.04.2006, 02:15 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hey sorry, aber ich kann bei dieser bildqualität selbst beim besten willen die indizes nicht entziffern. Der Text so is schon schwer genug! Würdest du bitte das mit dem Formeleditor abtippen ? Ist doch nicht sonderlich viel Aufwand! servus |
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20.04.2006, 02:32 | MrY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, habs nochmal gescannt. Ich denke jetzt kann man alles erkennen. Wenns nicht ausreicht, tipps ichs nochmal ab. http://img357.imageshack.us/img357/8735/scannen00018qx.png |
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20.04.2006, 12:55 | babelfish | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
die zweite version ist nicht unbedingt besser.... am besten ists wahrscheinlich wirklich, wenn du's nochmal abtippst - auch wenns ein bisschen mehr arbeit ist, aber so kann man da nicht wirklich viel mit anfangen... |
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20.04.2006, 16:52 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
*gg* ich meinte nicht die lösungen sondenr die aufgaben. die richtige lösung zu einer aufgaben zu finden ist kein so großes problem wie zu einer lösung die richtige aufgabe! |
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20.04.2006, 19:59 | MrY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, hier noch die Aufgaben: http://img375.imageshack.us/img375/3721/scannen00022qa.png Diesmal in XXL Das andere kann man ab d) einwandfrei lesen find ich, aber ok, dann tipp ich das später nochmal ab! |
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20.04.2006, 22:51 | MrY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
d) mit _|_ {Richtungsvektor von g_c = Tangente an G(f_c)} => <=> <=> => Und das soll keine Arbeit sein. Ich weiß gar nicht, wie lange ich jetzt an diesem Formeleditor saß. Ich lasse e) erstmal weg. Ich hoff einfach mal, dass ich das dann allein hinkrieg, sonst sitzt ich hier noch ne Stunde dran. Hoffe, mir kann das jetzt jemand erklären thx PS: Bin erstma essen und kann auf Anfragen erst danach antworten. |
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21.04.2006, 00:10 | MrY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sry, will das Board nicht zuspamen, aber ist die Aufgabe wirklich so uninteressant? Das ist wirklich wichtig für mich. Thx |
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21.04.2006, 01:45 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du, warum postest nicht mal ordentlich den Aufgabentext ohne Kompromisse, dann hättest schon längst Echo ! |
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21.04.2006, 03:00 | MrY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Aufgabentext "ohne Kompromisse" Dass man auf die Bilder draufklicken muss, um sie zu vergrößern, ist aber schon klar, oder? Also: Für jede reelle Zahl c>0 ist die Funktion gegeben. d) Ein Kreis k_c mit dem Mittelpunkt auf der x-Achse berührt den Graphen zu f_c in B_c. Ermitteln sie die Gleichung des Kreises k_c. B_c = (c/c^0,5) e) Ein zweiter Kreis k_c_ mit dem Mittelpunkt auf der y-achse berührt den Graphen zu f_c in B_c. 1. Für welche Werte von c schneidet der Kreis außerdem den Graphen zu f_c? 2. In welchem Verhältnis stehen die beiden Radien r_c und r_c_ der beiden Kreise k_c und k_c_ zueinander? Wann gilt r_c = r_c_? |
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21.04.2006, 04:45 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
d) fc'(c) = 1/2*c/sqrt((2*c-x)^3) = 1/(2*sqrt(c)) mcr = 1/(-1/(2*sqrt(c))) = -2*sqrt(c) Radiusgerade: (y-sqrt(c))/(x-c) = -2*sqrt(c) Schnittsstelle mit x-Achse ... xc = c+1/2 Kreismittelpunkt Kc(c+1/2 | 0) Radius rc = |BcKc| = sqrt((c-(c+1/2))^2+sqrt(c)^2) = 1/2*sqrt(1+4*c) e) Radiusgerade: (y-sqrt(c))/(x-c) = -2*sqrt(c) Schnittsstelle mit y-Achse ... yc = 2*c*sqrt(c)+sqrt(c) Kreismittelpunkt Kc_(0 | (2*c+1)*sqrt(c)) Radius rc_ rc_ = |BcKc_| = sqrt((2*c^(3/2)+c^(1/2)-sqrt(c))^2+(-c)^2) rc_ = sqrt(4*c^3+c^2) 2) rc/rc_ = 1/2*sqrt(1+4*c)/sqrt(c^2*(1+4*c)) = 1/(2*|c|) Für c=1/2 ist rc/rc_ = 1/(2*1/2) = 1 und somit rc = rc_ 1) muss ich schuldig bleiben, fällt mir derweil nichts rechenbares ein. Die Schnittbedingung Kc_ mit Fc ist nicht vernüftig rechenbar x^2+(c/sqrt(2*c-x)-(2*c+1)*sqrt(c))^2 = 4*c^3+c^2 und sonstiges fällt mir gerade nicht ein. |
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21.04.2006, 13:33 | MrY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke, aber die Lösungen hat ich ja ohnehin schon... Aber inzwischen kann ich sie auch nachvollziehen. zu 1: In der Lösung heißt es, dass r_c_ nicht größer als 2c sein darf, weiß allerdings nicht warum... |
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21.04.2006, 14:21 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So, nun hab ich auch eine 'Möglichkeit' zur 1) Ob das jedoch wirklich soo angegangen werden sollte, bleibt mir weiter sehr fraglich. Dazu hab ich den Krümmungskreisradius KRc von fc in Bc ermittelt und den mit dem Radius des Kreises verglichen ... KRc = (1+f'c(c)^2)^(3/2)/f''c(c) = 1/6*(4*c+1)^(3/2) Für KRc < rc_ gibts mit Sicherheit 2 weitere Schnittstellen Die Gleichheitsbedingung KRc=rc_ liefert als Lösung c = -1/4, 1/2 Nun kannst zeigen, (wie auch immer) dass KRc-rc_ im Bereich [-1/4,1/2] positiv ist und hernach negativ. Das bedeutet, für c > 1/2 ist KRc < rc_ und es gibt 2 weitere Schnittstellen. Was allerdings nicht ausschließt, jedenfalls sehe ich das nicht direkt, dass nicht an weiteren Stelle noch weitere Schnittpunkte existieren könnten ? Bitte Nachrechnen UND Nachdenken, es gibt keine Garantie auf Richtigkeit und evtl eine viel einfachere Lösung ? Alternativ könnte man auch anhand der 2.Ableitungen von Kc_ und fc im Punkt Bc, versuchen das zu fassen. Ob das allerdings viel einfacher wird ... |
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21.04.2006, 15:16 | MrY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also die Lösung meiner Lehrerin war folgende: 1.) Der kreis schneidet den Graphen, wenn gillt: r_c_ = <=> c^2 + 4c^3 >= 4c^3-3c^2 = c^2(4c-3) >=0 <=> c >= 3/4 Die Rechnung ist ja ziemlich einfach, nur weiß ich nicht, ob die Bedingung ausreicht. Das Ergebnis widerspricht jedenfalls deinem Ansatz. http://img152.imageshack.us/img152/2958/unbenannt4xq.png edit: latex korrigiert! du hast die zweite latex-klammer vergessen! babelfish |
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21.04.2006, 16:56 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Lösung deiner Lehrerin ist falsch, wie auch immer. Gegenbeispiel c=5/8, dann ist 1/2 < c < 3/4 Kc_5/8 = (0 | 9/32*sqrt(40)) rc_5/8 = 5/16*sqrt(14) Bc5/8 = (5/8 | 1/8*sqrt(40)) Dann existieren folgende Schnittpunkte wie sich leicht überprüfen lässt: S1=( 0.5195126507 | f5/8(0.5195126507 )= (0.5195126507 | 0.7312631144) S2=( 5/8 | f5/8(5/8) ) = ( 5/8 | 1/8*sqrt(40) ) S3=( 1.150889824 | f5/8(1.150889824 )= (1.150889824 | 1.985276006) Einsetzen in die Kreisgleichung, sowie in fc5/8(x): x^2+(y-9/32*sqrt(40))^2 = 175/128 fc5/8(x) = 5/8*1/sqrt(5/4-x) zeigt deren Position auf den beiden Linien (Kc_ und fc) . PS Wegen deiner Bilder hab ich riesen Probs in dem Thread. Anmerkung von mir dazu: Die Lehrerin wird versuchen sich rauszureden (ihre Lösung sei als Teilmenge davon ja nicht falsch, immerhin sei es für c>3/4 ja zutreffend ... ) Mein Kommentar dazu, insbesondere wenns eine Prüfungsaufgabe war, ist: IHRE Lösung ist nicht teilweise richtig, sondern VOLLSTÄNDIG falsch, denn es muss damit gerechnet werden, dass der versierte Schüler versucht das Problem RICHTIG zu rechnen, an der Komplexität scheitert und eine MENGE Zeit daran verliert. Ihr simpler Ansatz mit dem Asymptotenschnitt ist geradezu lächerlich. Da hab ich sofort dran gedacht, aber zugleich gewusst, dass das damit nicht wirklich zu beantworten ist. |
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21.04.2006, 20:29 | MrY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Inwiefern?
Na gut, dann werd ich mich erstmal nicht weiter mit der Aufgabe beschäftigen. Danke für deine Hilfe. |
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21.04.2006, 21:03 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ein bild dazu: schon c = 0.5 ist zu groß, sagt euklid werner |
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21.04.2006, 21:09 | MrY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Tatsächlich... Aber da ich sowieso nur noch die Abi-Prüfungen vor mir habe, wird es wohl nie erfahren... |
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21.04.2006, 21:25 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
OT: neugierde ist ein gut, das sollte nicht mit dem abi sterben! meint einer, dessen matura schon ein weilchen zurück liegt. oder meinst du die lehrerin, die es nie erfahren wird? sag´s ihr halt - nachher ich wünsche dir viel glück werner vielleicht stillt ja poff noch unsere (oder nur meine) neugierde. könnte ja sein, weil die krümmung von f(x) nicht konstant ist. |
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21.04.2006, 21:49 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Werner, das ist gut möglich. Ich sagte ja schon, es mag noch weitere Schnittpunkte geben und dass ich das nicht entscheiden könne. Sicher hingegen ist, dass für c>1/2 rechts und links des Berührpunktes Schnittpunkte hinzukommen. Für c < 1/2 ist dies nicht der Fall, was aber NICHT bedeutet, dass nicht etwa fernab des Berührpunktes ein Schnitt stattfinden könnte. So sollte das AUCH bei deinem Beispiel sein. Der Kreis müsste bei 1/2 +d mit d>0 einschneiden und dann noch ein zweites Mal zurück. In einer genügend kleinen Umgebung um 1/2 sollte kein Durchtritt sein. Womöglich muss aber der Fall c=1/2 ebenfalls noch rausgenommen werden. |
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21.04.2006, 21:56 | MrY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Yo.
Wir ham ja kein Unterricht mehr und nach den Prüfungen ist mir das erstmal zu egal, als dass ich mich noch mit ihr drüber unterhalten müsste
Danke! |
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21.04.2006, 21:56 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hallo poff, habe dein erstes schreiben eh genau so verstanden. (c = 0.5 ist sicher zu groß, siehe grafik oben, lt. euklid ist c ca. 0.45.) wäre nur interessant, wie die lehrerin auf ihren wert gekommen ist. aber neugierde..... werner |
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21.04.2006, 22:11 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Werner, wie die Leherein darauf gekommen ist ... die Funktion fc(x) hat eine Polstelle bei x=2*c. Wenn nun der Kreisradius größer ist als 2*c muss der Kreis die Kurve zwangsläufig schneiden. Das ist alles was dahintersteckt. Allerdings sollte sofort klar sein, dass der Kreis dann schon vorher schneiden muss, weil die Funktion fc(x) = die Ordinate KreisMitte schon für x < 2*c erreicht. Nachtrag Ich werde mal versuchen zu prüfen, ob der Schnitt bei c=1/2 echt oberhalb der 1/2 stattfindet. Wenn das so wäre liese es sich berechnen. |
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21.04.2006, 22:49 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es sieht folgendermaßen aus: Für c=1/2 findet ein Schnitt statt bei x=1/2 und für x,y = (0.8640816001 | 1.356222290) und sonst KEIN weiterer Schnitt, das ist ziemlich verlässlich ! Dh. der Kreis dringt schon bei c=1/2 durch die Kurve durch und NUR für c < 1/2 existiert eine durchtrittsfreie eps Umgebung um den Berührpunkt von fc und Kc_. (Das scheint mir kein Widerspruch zum identischen Krümmungskreisradius in Bc bei c=1/2 sein zu müssen) Da er nach deiner Info aber auch für c<1/2 schneidet muss in diesen Fällen NACH dem Überschreiten der eps-Umgebung der Einschnitt, und hernach dann der Rückschnitt stattfinden, unmittelbar um den Berührpunkt Bc, müsste er auf der 'linken' Seite der fc-Kurve bleiben. Nachtrag: Im Fall c<1/2 scheint es so zu liegen wie vermutet, bzw berechnet. Für c=1/2 -10^-9, gibts ein Berührpunkt bei x=1/2 -10^-9 und einen Durchtritt knapp oberhalb 1/2, etwa bei 1/2+10^-16 und den Rückschnitt dann bei 0.8640815982. |
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