Kreis-Aufgabe mit Lösung - brauche Erläuterung.

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MrY Auf diesen Beitrag antworten »
Kreis-Aufgabe mit Lösung - brauche Erläuterung.
Hi,

bereite mich grad auf Mathe-LK Abi-Prüfungen vor und komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

http://img357.imageshack.us/img357/558/scannen00022hk.jpg

Bis d) war es kein Problem, aber jetzt steh ich irgendwie aufm Schlauch.
MrY Auf diesen Beitrag antworten »
...und hier die Lösung...
Kann wohl nur ein Bild posten. Naja, die Lösung ist hier:

http://img357.imageshack.us/img357/6637/scannen00010cr.jpg

Wär nett, wenn mir das mal jemand erläutern könnte. Ich verstehe irgendwie den Ansatz nicht unglücklich
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

hey sorry, aber ich kann bei dieser bildqualität selbst beim besten willen die indizes nicht entziffern. Der Text so is schon schwer genug!

Würdest du bitte das mit dem Formeleditor abtippen ?
Ist doch nicht sonderlich viel Aufwand!

servus
MrY Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

habs nochmal gescannt. Ich denke jetzt kann man alles erkennen. Wenns nicht ausreicht, tipps ichs nochmal ab.

http://img357.imageshack.us/img357/8735/scannen00018qx.png
babelfish Auf diesen Beitrag antworten »

die zweite version ist nicht unbedingt besser....Augenzwinkern

am besten ists wahrscheinlich wirklich, wenn du's nochmal abtippst - auch wenns ein bisschen mehr arbeit ist, aber so kann man da nicht wirklich viel mit anfangen...
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

*gg* ich meinte nicht die lösungen sondenr die aufgaben.
die richtige lösung zu einer aufgaben zu finden ist kein so großes problem wie zu einer lösung die richtige aufgabe!
 
 
MrY Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, hier noch die Aufgaben:

http://img375.imageshack.us/img375/3721/scannen00022qa.png

Diesmal in XXL smile

Das andere kann man ab d) einwandfrei lesen find ich, aber ok, dann tipp ich das später nochmal ab!
MrY Auf diesen Beitrag antworten »

d)



mit

_|_

{Richtungsvektor von g_c = Tangente an G(f_c)}

=> <=>

<=>

=>



Und das soll keine Arbeit sein. Ich weiß gar nicht, wie lange ich jetzt an diesem Formeleditor saß. Ich lasse e) erstmal weg. Ich hoff einfach mal, dass ich das dann allein hinkrieg, sonst sitzt ich hier noch ne Stunde dran.

Hoffe, mir kann das jetzt jemand erklären Gott

thx

PS: Bin erstma essen und kann auf Anfragen erst danach antworten.
MrY Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, will das Board nicht zuspamen, aber ist die Aufgabe wirklich so uninteressant? Das ist wirklich wichtig für mich. Gott

Thx
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Du,

warum postest nicht mal ordentlich den Aufgabentext ohne
Kompromisse, dann hättest schon längst Echo !
MrY Auf diesen Beitrag antworten »

Der Aufgabentext "ohne Kompromisse" verwirrt

Dass man auf die Bilder draufklicken muss, um sie zu vergrößern, ist aber schon klar, oder? Augenzwinkern

Also:

Für jede reelle Zahl c>0 ist die Funktion



gegeben.

d) Ein Kreis k_c mit dem Mittelpunkt auf der x-Achse berührt den Graphen zu f_c in B_c. Ermitteln sie die Gleichung des Kreises k_c.

B_c = (c/c^0,5)

e) Ein zweiter Kreis k_c_ mit dem Mittelpunkt auf der y-achse berührt den Graphen zu f_c in B_c.

1. Für welche Werte von c schneidet der Kreis außerdem den Graphen zu f_c?

2. In welchem Verhältnis stehen die beiden Radien r_c und r_c_ der beiden Kreise k_c und k_c_ zueinander? Wann gilt r_c = r_c_?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

d)
fc'(c) = 1/2*c/sqrt((2*c-x)^3) = 1/(2*sqrt(c))

mcr = 1/(-1/(2*sqrt(c))) = -2*sqrt(c)

Radiusgerade: (y-sqrt(c))/(x-c) = -2*sqrt(c)
Schnittsstelle mit x-Achse ...
xc = c+1/2

Kreismittelpunkt Kc(c+1/2 | 0)
Radius
rc = |BcKc| = sqrt((c-(c+1/2))^2+sqrt(c)^2) = 1/2*sqrt(1+4*c)


e)
Radiusgerade: (y-sqrt(c))/(x-c) = -2*sqrt(c)
Schnittsstelle mit y-Achse ...
yc = 2*c*sqrt(c)+sqrt(c)

Kreismittelpunkt Kc_(0 | (2*c+1)*sqrt(c))
Radius rc_
rc_ = |BcKc_| = sqrt((2*c^(3/2)+c^(1/2)-sqrt(c))^2+(-c)^2)
rc_ = sqrt(4*c^3+c^2)

2)
rc/rc_ = 1/2*sqrt(1+4*c)/sqrt(c^2*(1+4*c)) = 1/(2*|c|)
Für c=1/2 ist rc/rc_ = 1/(2*1/2) = 1 und somit rc = rc_

1)
muss ich schuldig bleiben, fällt mir derweil nichts rechenbares
ein. Die Schnittbedingung Kc_ mit Fc ist nicht vernüftig rechenbar
x^2+(c/sqrt(2*c-x)-(2*c+1)*sqrt(c))^2 = 4*c^3+c^2
und sonstiges fällt mir gerade nicht ein.
MrY Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, aber die Lösungen hat ich ja ohnehin schon... Aber inzwischen kann ich sie auch nachvollziehen. smile

zu 1: In der Lösung heißt es, dass r_c_ nicht größer als 2c sein darf, weiß allerdings nicht warum...
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

So, nun hab ich auch eine 'Möglichkeit' zur 1)

Ob das jedoch wirklich soo angegangen werden sollte,
bleibt mir weiter sehr fraglich.

Dazu hab ich den Krümmungskreisradius KRc von fc in Bc ermittelt
und den mit dem Radius des Kreises verglichen ...

KRc = (1+f'c(c)^2)^(3/2)/f''c(c) = 1/6*(4*c+1)^(3/2)

Für KRc < rc_ gibts mit Sicherheit 2 weitere Schnittstellen

Die Gleichheitsbedingung KRc=rc_ liefert als Lösung

c = -1/4, 1/2

Nun kannst zeigen, (wie auch immer) dass KRc-rc_ im Bereich
[-1/4,1/2] positiv ist und hernach negativ. Das bedeutet,

für c > 1/2 ist KRc < rc_ und es gibt 2 weitere Schnittstellen.
Was allerdings nicht ausschließt, jedenfalls sehe ich das
nicht direkt, dass nicht an weiteren Stelle noch weitere
Schnittpunkte existieren könnten ?


Bitte Nachrechnen UND Nachdenken, es gibt keine Garantie
auf Richtigkeit und evtl eine viel einfachere Lösung ?



Alternativ könnte man auch anhand der 2.Ableitungen von Kc_
und fc im Punkt Bc, versuchen das zu fassen.
Ob das allerdings viel einfacher wird ...
MrY Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Lösung meiner Lehrerin war folgende:

1.) Der kreis schneidet den Graphen, wenn gillt:

r_c_ =

<=> c^2 + 4c^3 >= 4c^3-3c^2 = c^2(4c-3) >=0
<=> c >= 3/4

Die Rechnung ist ja ziemlich einfach, nur weiß ich nicht, ob die Bedingung ausreicht. Das Ergebnis widerspricht jedenfalls deinem Ansatz.

http://img152.imageshack.us/img152/2958/unbenannt4xq.png


edit: latex korrigiert! du hast die zweite latex-klammer vergessen! smile babelfish
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung deiner Lehrerin ist falsch, wie auch immer.


Gegenbeispiel

c=5/8, dann ist 1/2 < c < 3/4

Kc_5/8 = (0 | 9/32*sqrt(40))

rc_5/8 = 5/16*sqrt(14)

Bc5/8 = (5/8 | 1/8*sqrt(40))


Dann existieren folgende Schnittpunkte wie sich leicht überprüfen
lässt:

S1=( 0.5195126507 | f5/8(0.5195126507 )= (0.5195126507 | 0.7312631144)

S2=( 5/8 | f5/8(5/8) ) = ( 5/8 | 1/8*sqrt(40) )

S3=( 1.150889824 | f5/8(1.150889824 )= (1.150889824 | 1.985276006)



Einsetzen in die Kreisgleichung, sowie in fc5/8(x):

x^2+(y-9/32*sqrt(40))^2 = 175/128

fc5/8(x) = 5/8*1/sqrt(5/4-x)

zeigt deren Position auf den beiden Linien (Kc_ und fc)
.


PS
Wegen deiner Bilder hab ich riesen Probs in dem Thread.




Anmerkung von mir dazu:

Die Lehrerin wird versuchen sich rauszureden (ihre Lösung sei als
Teilmenge davon ja nicht falsch, immerhin sei es für c>3/4 ja
zutreffend ... )

Mein Kommentar dazu, insbesondere wenns eine Prüfungsaufgabe
war, ist:

IHRE Lösung ist nicht teilweise richtig, sondern VOLLSTÄNDIG
falsch, denn es muss damit gerechnet werden, dass der versierte
Schüler versucht das Problem RICHTIG zu rechnen,
an der Komplexität scheitert und eine MENGE Zeit daran verliert.
Ihr simpler Ansatz mit dem Asymptotenschnitt ist geradezu lächerlich.

Da hab ich sofort dran gedacht, aber zugleich gewusst,
dass das damit nicht wirklich zu beantworten ist.
MrY Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
PS
Wegen deiner Bilder hab ich riesen Probs in dem Thread.


Inwiefern?

Zitat:
Die Lösung deiner Lehrerin ist falsch, wie auch immer.


Na gut, dann werd ich mich erstmal nicht weiter mit der Aufgabe beschäftigen. Danke für deine Hilfe.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ein bild dazu:
schon c = 0.5 ist zu groß, sagt euklid
werner
MrY Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsächlich...

Aber da ich sowieso nur noch die Abi-Prüfungen vor mir habe, wird Lehrer es wohl nie erfahren...
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

OT: neugierde ist ein gut, das sollte nicht mit dem abi sterben!
meint einer, dessen matura schon ein weilchen zurück liegt.
oder meinst du die lehrerin, die es nie erfahren wird? sag´s ihr halt - nachher
ich wünsche dir viel glück
werner

vielleicht stillt ja poff noch unsere (oder nur meine) neugierde.
könnte ja sein, weil die krümmung von f(x) nicht konstant ist.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Werner, das ist gut möglich.

Ich sagte ja schon, es mag noch weitere Schnittpunkte geben
und dass ich das nicht entscheiden könne.

Sicher hingegen ist, dass für c>1/2 rechts und links des
Berührpunktes Schnittpunkte hinzukommen.
Für c < 1/2 ist dies nicht der Fall, was aber NICHT bedeutet,
dass nicht etwa fernab des Berührpunktes ein Schnitt stattfinden
könnte.

So sollte das AUCH bei deinem Beispiel sein.
Der Kreis müsste bei 1/2 +d mit d>0 einschneiden und dann noch
ein zweites Mal zurück. In einer genügend kleinen Umgebung
um 1/2 sollte kein Durchtritt sein. Womöglich muss aber der
Fall c=1/2 ebenfalls noch rausgenommen werden.
MrY Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wernerrin
oder meinst du die lehrerin, die es nie erfahren wird?


Yo.

Zitat:
sag´s ihr halt - nachher


Wir ham ja kein Unterricht mehr und nach den Prüfungen ist mir das erstmal zu egal, als dass ich mich noch mit ihr drüber unterhalten müsste Augenzwinkern

Zitat:
ich wünsche dir viel glück


Danke! smile
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

hallo poff,
habe dein erstes schreiben eh genau so verstanden.

(c = 0.5 ist sicher zu groß, siehe grafik oben, lt. euklid ist c ca. 0.45.)
wäre nur interessant, wie die lehrerin auf ihren wert gekommen ist.
aber neugierde.....
werner
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Werner,

wie die Leherein darauf gekommen ist ...

die Funktion fc(x) hat eine Polstelle bei x=2*c.
Wenn nun der Kreisradius größer ist als 2*c muss der Kreis die
Kurve zwangsläufig schneiden. Das ist alles was dahintersteckt.

Allerdings sollte sofort klar sein, dass der Kreis dann schon vorher
schneiden muss, weil die Funktion fc(x) = die Ordinate KreisMitte
schon für x < 2*c erreicht.



Nachtrag

Ich werde mal versuchen zu prüfen, ob der Schnitt bei c=1/2
echt oberhalb der 1/2 stattfindet. Wenn das so wäre liese
es sich berechnen.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Es sieht folgendermaßen aus:

Für c=1/2 findet ein Schnitt statt bei x=1/2 und für
x,y = (0.8640816001 | 1.356222290) und sonst KEIN weiterer
Schnitt, das ist ziemlich verlässlich !

Dh. der Kreis dringt schon bei c=1/2 durch die Kurve durch
und NUR für c < 1/2 existiert eine durchtrittsfreie eps Umgebung
um den Berührpunkt von fc und Kc_.
(Das scheint mir kein Widerspruch zum identischen
Krümmungskreisradius in Bc bei c=1/2 sein zu müssen)


Da er nach deiner Info aber auch für c<1/2 schneidet muss
in diesen Fällen NACH dem Überschreiten der eps-Umgebung der
Einschnitt, und hernach dann der Rückschnitt stattfinden,
unmittelbar um den Berührpunkt Bc, müsste er auf der 'linken'
Seite der fc-Kurve bleiben.




Nachtrag:

Im Fall c<1/2 scheint es so zu liegen wie vermutet, bzw berechnet.

Für c=1/2 -10^-9, gibts ein Berührpunkt bei x=1/2 -10^-9 und
einen Durchtritt knapp oberhalb 1/2, etwa bei 1/2+10^-16 und
den Rückschnitt dann bei 0.8640815982.
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