Abildung (Spiegelung einer Graden an einer anderen)

11.07.2008, 12:04

JonnyRico

Abildung (Spiegelung einer Graden an einer anderen)

Hi,

ich habe ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:

Gegeben sei eine Gerade G1: $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\vec{a} +\lambda \vec{b} \\ \vec{a}= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \vec{b}= \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wie lautet die Transformationsmatrix, die G1 an der Geraden G2: x2=x1+3 spiegelt,
und welche Gerade ergibt sich dann?

Ich hatte mir eigentlich vorgestellt, dass ich mir jetzt zwei Punkte der Geraden G1 erstmal auswähle. z.B. P1 = (2,1) und P2= (1,-2).

Dann habe ich in meinem Skript stehen, dass die Spiegelungsmatrix folgendermaßen aussieht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & sin(\alpha) & 0 \\ \sin(\alpha) & -\cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So nun ist Alpha in diesem Fall ja wohl der Winkel den G2 zur X-Achse bildet. Also 45°. Also berechne ich die Transformationsmatrix mit 45° und führe sie auf meine Punkte aus.

Irgendwie passt mein Ergebnis was ich da dann raus bekomme aber nicht zur Musterlösung, da meine Matrix auch schon ganz anders aussieht. In der Musterlösung ist eine Matrix :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

angegeben. Kann mir jemand sagen was ich falsch mache??

Vielen Dank im Voraus.

Gruß

Jonny

11.07.2008, 12:08

tigerbine

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RE: Abildung (Spiegelung einer Graden an einer anderen)
Deine Spiegelungsgerade ist aber keine Ursprungsgerade, oder?

11.07.2008, 12:11

JonnyRico

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RE: Abildung (Spiegelung einer Graden an einer anderen)
Nö das ist richtig. Das war auch schon meine Vermutung, aber wenn ich sie in den Ursprung verlege, dann habe ich ja also noch die beiden Transformationen hin zu dem Punkt z.B. 0/-3 und wieder zurück oder wie lässt sich das sonst machen???

11.07.2008, 12:26

JonnyRico

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RE: Abildung (Spiegelung einer Graden an einer anderen)
Okay den Teil der Spiegelung habe ich jetzt Augenzwinkern

Man hat ja

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos(2*\alpha) & sin(2*\alpha) & 0 \\ \sin(2*\alpha) & -\cos(2\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu rechnen!! Darüber war ich noch nicht gefallen. Was ist denn aber wenn die Gerade (so wie meine) nicht durch den Urspung verläuft. Setzt man dann die Koordinaten ein wo jeweils die andere Kompnente = 0 ist oder wie ist da der mathematische Zusammenhang??

11.07.2008, 12:30

tigerbine

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RE: Abildung (Spiegelung einer Graden an einer anderen)
Seltsam ist, dass deine Gerade im IR² lebt, deine Spiegelung aber im IR³ verwirrt

11.07.2008, 12:35

JonnyRico

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RE: Abildung (Spiegelung einer Graden an einer anderen)
Jo das ist doch aber bei der Einführung homogener Koordinaten immer so.......aber da bringst du mich natürlich auf eine Idee. Wenn dort homogene Koordinaten eingefügt werden, dann muss ja auch eine Koordinatentransformation durchgeführt worden sein........mmmm...aber wie sieht die aus bzw. wie sieht das Schema aus nach dem man diese Koordinaten wählt...???

11.07.2008, 13:06

tigerbine

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RE: Abildung (Spiegelung einer Graden an einer anderen)

Zitat:

Gegeben sei eine Gerade G1:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\vec{a} +\lambda \vec{b} ,~ \vec{a}= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \vec{b}= \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie lautet die Transformationsmatrix, die G1 an der Geraden G2: $\begin{eqnarray*} x_2=x_1+3 \end{eqnarray*}$ spiegelt, und welche Gerade ergibt sich dann?

Wie das ist immer so. Verstehe ich nicht. Wir haben hier 2 Geraden im IR.

$\begin{eqnarray*} G_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G-2:~\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zur graphischen Darstellung notiere ich sie noch auf eine andere Weise:

$\begin{eqnarray*} G_1: x_2 =3 \cdot x_1 - 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_2:~x_2 = 1\cdot x_1 + 3 \end{eqnarray*}$

Nun soll G1 an G2 gespiegelt werden. Anschaulich ist klar, was wir erhalten werden. Nur warum sollte ich eine 3x3 Matrix dafür verwenden?

11.07.2008, 13:18

JonnyRico

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RE: Abildung (Spiegelung einer Graden an einer anderen)
Hi,

tja ich denke weil die gerade nicht durch den Ursprung geht, aber wenn du mir sagst wie ich das mit einer 2x2 Matrix mache, dann um so besser, dann habe ich weniger zu rechnen Augenzwinkern

11.07.2008, 17:01

tigerbine

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RE: Abildung (Spiegelung einer Graden an einer anderen)
Na Verschieb doch den Ursprung? Der Geradenschnittpunkt. Der liegt bei S(4/7).

$\begin{eqnarray*} s=(4,7)^T \end{eqnarray*}$

Wie würde unsere gespiegelte Gerade aussehen?

$\begin{eqnarray*} G_3:~\vec{x} = \begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} + \lambda_3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_3:~x_2 = \frac{1}{3}x_1 + \frac{17}{3} \end{eqnarray*}$

An den Steigungen ändert sich durch das Verschieben nichts. Die Spiegelungsmatrix hat die Gestalt:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} \cos(2\cdot \alpha) & \sin(2 \cdot \alpha) \\ \sin(2 \cdot \alpha) & - \cos(2 \cdot \alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei ist alpha 45°. Es ergibt sich also:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wollen wir nun einen Punkt p spiegeln, so müssen wir rechnen:

$\begin{eqnarray*} \hat{p}=s + A(p-s) \end{eqnarray*}$

S ist deutlich als Fixpunkt zu erkennen. Der Punkt (0/-5) liegt auf G1. Spiegeln liefert:

$\begin{eqnarray*} \hat{p} =\begin{pmatrix} -8 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dieser liegt auch auf G3(Probe). Die Verbindungsgerade hat eine Steigung von -1, es ist also tatsächlich der gesuchte Spiegelpunkt.

Vielleicht kannst du nun im Gegenzug erklären, wie das ganze mit der 3x3 Matrix gehen soll. Irgendwo musst du den Ansatz ja her haben. Wink

12.07.2008, 09:52

Leopold

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Man kann das Problem gleich allgemein lösen.

1. Nehmen wir zunächst eine Ursprungsgerade

$\begin{eqnarray*} s_1 x_1 + s_2 x_2 = 0 \ \ \text{mit} \ \ s_1^{\, 2} + s_2^{\, 2} > 0 \end{eqnarray*}$

An dieser soll gespiegelt werden. Die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{e}_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{e}_2 \end{eqnarray*}$ bei dieser Spiegelung. Um $\begin{eqnarray*} \vec{e}_1 \end{eqnarray*}$ zu spiegeln, fällen wir das Lot auf die Spiegelachse:

$\begin{eqnarray*} -s_2 x_1 + s_1 x_2 = -s_2 \end{eqnarray*}$

Den Schnitt von Spiegelachse und Lot erhält man z.B. mit der Cramerschen Regel für das durch die beiden Geradengleichungen bestimmte lineare Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} \vec{p} = \frac{1}{s_1^{\, 2} + s_2^{\, 2}} \begin{pmatrix} s_2^{\, 2} \\ - s_1 s_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Bild von $\begin{eqnarray*} \vec{e}_1 \end{eqnarray*}$ bei der Geradenspiegelung ist also (Punktspiegelung am Schnittpunkt)

$\begin{eqnarray*} \vec{f}_1 = 2 \, \vec{p} - \vec{e}_1 = \frac{1}{ s_1^{\, 2} + s_2^{\, 2}} \begin{pmatrix} s_2^{\, 2} - s_1^{\, 2} \\ -2 s_1 s_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und mit derselben Methode erhält man als Bild von $\begin{eqnarray*} \vec{e}_2 \end{eqnarray*}$ den Vektor

$\begin{eqnarray*} \vec{f}_2 = \frac{1}{ s_1^{\, 2} + s_2^{\, 2}} \begin{pmatrix} -2 s_1 s_2 \\ s_1^{\, 2} - s_2^{\, 2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Abbildungsmatrix für die gesamte Spiegelung ist also

$\begin{eqnarray*} S = \frac{1}{ s_1^{\, 2} + s_2^{\, 2}} \begin{pmatrix} s_2^{\, 2} - s_1^{\, 2} & -2 s_1 s_2 \\ -2 s_1 s_2 & s_1^{\, 2} - s_2^{\, 2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Jetzt der allgemeine Fall, die Spiegelung an der Geraden

$\begin{eqnarray*} s_1 x_1 + s_2 x_2 = t \ \ \text{mit} \ \ s_1^{\, 2} + s_2^{\, 2} > 0 \end{eqnarray*}$

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei $\begin{eqnarray*} s_2 \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann verschiebt man das Problem mit Hilfe des Vektors

$\begin{eqnarray*} \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{t}{s_2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

in den Ursprung und nach vollendeter Spiegelung wieder zurück. Die Abbildungsgleichung ist also

$\begin{eqnarray*} \vec{y} = S \cdot \left( \vec{x} - \vec{v} \right) + \vec{v} = S \cdot \vec{x} + \vec{v} - S \vec{v} \end{eqnarray*}$

Faßt man die konstanten Teile zusammen, ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \vec{w} = \vec{v} - S \vec{v} = \frac{2t}{ s_1^{\, 2} + s_2^{\, 2}} \begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die gesuchte Abbildung ist also mit $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ wie oben definiert:

$\begin{eqnarray*} \vec{y} = S \vec{x} + \vec{w} \end{eqnarray*}$

Man kann das nun mit der Blockmatrix

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} S & \vec{w} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und den um eine $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ergänzten Spalten

$\begin{eqnarray*} \vec{x}^{\, *} = \begin{pmatrix} \vec{x} \\ 1 \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{y}^{\, *} = \begin{pmatrix} \vec{y} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \vec{y}^{\, *} = A \cdot \vec{x}^{\, *} \end{eqnarray*}$

Und dieses $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist es, was in der Aufgabe zu bestimmen ist. Ausgeschrieben lautet $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ so:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{ s_1^{\, 2} + s_2^{\, 2}} \begin{pmatrix} s_2^{\, 2} - s_1^{\, 2} & -2 s_1 s_2 & 2ts_1 \\ -2 s_1 s_2 & s_1^{\, 2} - s_2^{\, 2} & 2ts_2 \\ 0 & 0 & s_1^{\, 2} + s_2^{\, 2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ beschreibt die Spiegelung an der Geraden $\begin{eqnarray*} s_1 x_1 + s_2 x_2 = t \end{eqnarray*}$ vollständig.

Das war natürlich etwas viel Aufwand, weil ja beim konkreten Beispiel die Spiegelachse eine besonders schöne Lage hat und man mit ein paar Symmetriebetrachtungen gleich am Ziel ist. Auf der anderen Seite ist das Problem jetzt allgemein gelöst ...

12.07.2008, 11:43

tigerbine

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RE: Abildung (Spiegelung einer Graden an einer anderen)

Zitat:

Original von tigerbine
Vielleicht kannst du nun im Gegenzug erklären, wie das ganze mit der 3x3 Matrix gehen soll. Irgendwo musst du den Ansatz ja her haben. Wink

Danke Leopold. Wink

12.07.2008, 12:14

Leopold

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Für die Spiegelung an einer Hyperebene $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ gibt es eine allgemeine Lösung (Max Koecher, Lineare Algebra und analytische Geometrie, Springer 1983, Seite 174). Ich schreibe das Standardskalarprodukt zweier Vektoren als Multiplikation. Hat dann $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{s} \end{eqnarray*}$ , so beschreibt die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ \ \vec{y} = \vec{x} - \frac{2 \, \vec{s} \, \vec{x}}{\vec{s}^{\ 2}} \, \vec{s} \end{eqnarray*}$

die Spiegelung an $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ . Wenn man die Formel einmal hat, ist es nicht mehr schwer, dies zu verifizieren. Man muß ja zwei Dinge zeigen: Die Verbindungsgerade von Urbild und Bild steht senkrecht auf $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ und wird von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ halbiert.

Das erste ist trivial. Man bringt einfach $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite und liest daraus die lineare Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \vec{y} - \vec{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{s} \end{eqnarray*}$ ab. Und beim zweiten ist $\begin{eqnarray*} \vec{s} \, \vec{z} = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \vec{z} = \frac{1}{2} \left( \vec{x} + \vec{y} \right) \end{eqnarray*}$ nachzuweisen. Und auch das ist ein Einzeiler:

$\begin{eqnarray*} \vec{s} \, \vec{z} = \frac{1}{2} \, \vec{s} \left( \vec{x} + \vec{y} \right) = \frac{1}{2} \, \vec{s} \left( 2 \, \vec{x} - \frac{2 \, \vec{s} \, \vec{x}}{\vec{s}^{\ 2}} \, \vec{s} \right) = \vec{s} \, \vec{x} - \frac{\vec{s} \, \vec{x}}{\vec{s}^{\ 2}} \, \vec{s}^{\ 2} = \vec{s} \, \vec{x} - \vec{s} \, \vec{x} = 0 \end{eqnarray*}$

Im Spezialfall $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ erhält man daraus gerade die Formeln meines vorigen Beitrages.

12.07.2008, 16:55

tigerbine

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@Leopold
Ich würde die Rechnung gerne in den Bereich Workshops kopieren. Die Frage wird ja sicherlich öfter kommen und so ein Aufschrieb sollte nicht 'verschütt' gehen. Ich kann dies gerne mit einem Hinweis auf diesen Thread machen, oder Du schreibst selbst einen Artikel unter deinem Namen.

LG, tigerbine (meld dich doch einfach per mail Augenzwinkern

)

12.07.2008, 18:19

Leopold

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Dann ergänzen wir das noch um eine Herleitung und geben alles zur Veröffentlichung in einem Workshop frei. Da darf dann auch noch mein Name daruntergesetzt werden.

Wir identifizieren Punkte $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ mit ihren Ortsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ und betrachten im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ die Hyperebene

$\begin{eqnarray*} H: \ \ \vec{s} \, \vec{x} = 0 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \vec{s} \end{eqnarray*}$ als Normalenvektor. Nun spiegeln wir $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ . Dazu fällen wir zunächst das Lot $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} g: \ \ \ \vec{x} = \vec{p} + \lambda \, \vec{s} \, , \ \ \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

und schneiden es mit $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \vec{s} \, \left(\vec{p} + \lambda \, \vec{s} \right) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \vec{s} \, \vec{p} + \lambda \, \vec{s}^{\ 2} = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \lambda = \lambda_0 = - \frac{\vec{s} \, \vec{p}}{\vec{s}^{\ 2}} \end{eqnarray*}$

Mit diesem konkret berechneten $\begin{eqnarray*} \lambda_0 \end{eqnarray*}$ gehen wir in $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und bestimmen den Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \vec{r} = \vec{p} + \lambda_0 \, \vec{s} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ wird nun an $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ punktgespiegelt. Der Bildpunkt ist $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \vec{q} = 2 \vec{r} - \vec{p} = 2 \left( \vec{p} + \lambda_0 \, \vec{s} \right) - \vec{p} = \vec{p} + 2 \lambda_0 \, \vec{s} \end{eqnarray*}$

Jetzt benennen wir $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \vec{y} \end{eqnarray*}$ um, und erhalten, den Wert für $\begin{eqnarray*} \lambda_0 \end{eqnarray*}$ einsetzend, für die Spiegelung an $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ die Abbildungsgleichung

$\begin{eqnarray*} \vec{y} = \vec{x} - \frac{2 \, \vec{s} \, \vec{x}}{\vec{s}^{\ 2}} \, \vec{s} \end{eqnarray*}$

Wie man sieht, geht die Rechnung "geradeaus", wenn man das aus der Schule bekannte Verfahren zur Spiegelung mit allgemeinen Größen durchführt.

Jetzt noch die Abbildungsmatrix. Mit den Koordinaten $\begin{eqnarray*} s_1,s_2,\ldots,s_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \vec{s} \end{eqnarray*}$ definieren wir die Matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} S = \left( s_i s_j \right)_{1 \leq i,j \leq n} \end{eqnarray*}$

Ferner sei $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -reihige Einheitsmatrix. Dann gilt wegen $\begin{eqnarray*} \left( \vec{s} \, \vec{x} \right) \vec{s} = S \, \vec{x} \end{eqnarray*}$ (das sieht man sofort, wenn man die Koordinaten beider Seiten durchgeht)

$\begin{eqnarray*} \vec{y} = \left( E - \frac{2}{\vec{s}^{\ 2}} \ S \right) \vec{x} \end{eqnarray*}$

12.07.2008, 21:40

tigerbine

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Zitat:

Dann ergänzen wir das noch um eine Herleitung und geben alles zur Veröffentlichung in einem Workshop frei. Da darf dann auch noch mein Name daruntergesetzt werden.

Danke, ich werde mich im Laufe der nächsten Woche darum kümmern. Wink

14.01.2010, 16:34

Physinetz

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RE: Abildung (Spiegelung einer Graden an einer anderen)

Zitat:

Original von tigerbine
Na Verschieb doch den Ursprung? Der Geradenschnittpunkt. Der liegt bei S(4/7).

$\begin{eqnarray*} s=(4,7)^T \end{eqnarray*}$

Wie würde unsere gespiegelte Gerade aussehen? [....]

An den Steigungen ändert sich durch das Verschieben nichts. Die Spiegelungsmatrix hat die Gestalt:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} \cos(2\cdot \alpha) & \sin(2 \cdot \alpha) \\ \sin(2 \cdot \alpha) & - \cos(2 \cdot \alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei ist alpha 45°. Es ergibt sich also:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wollen wir nun einen Punkt p spiegeln, so müssen wir rechnen:

$\begin{eqnarray*} \hat{p}=s + A(p-s) \end{eqnarray*}$

S ist deutlich als Fixpunkt zu erkennen. Der Punkt (0/-5) liegt auf G1. Spiegeln liefert:

$\begin{eqnarray*} \hat{p} =\begin{pmatrix} -8 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So weil ich das Thema wirklich verstehen will rufe ich mal den alten Thread auf, weil ich glaube es ist nicht sinnvoll einfach seine Werte/Geradenwerte einfach in eine Formel zu hauen ohne Hintergrundwissen...

Also zur Geraden (Ebene ist grad eh zu schwer für mich Hammer

) :

Du verschiebst ja deine Gerade in den Ursprung, indem du s abziehst von p.

siehe hier: $\begin{eqnarray*} \hat{p}=s + A(p-s) \end{eqnarray*}$

Dann wendest du dieSpiegelmatrix an und verschiebst anschließend wieder um s.

Aber

1) s ist ja der Schnittpunkt der Geraden, aber wie wäre das allgemein, wenn ich jetzt nicht eine Gerade speziell spiegeln möchte, sondern eben allgemein einen "Körper".
Dann muss ich ja auch die Gerade in den Ursprung verschieben.
Ist die verschiebung, man nenne sie s, aber nicht eben der Abstand vom Schnittpunkt der Spiegelgeraden /x(2) Achse zum Ursprung. Weil du nimmst ja als s den Schnittpunkt zweier Geraden...

Da steige ich nicht ganz durch...möchte aber gerade erstmal die Herleitung von Leopold umgehen, sorry Leopold ;-)

Viele Grüße Physinetz

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Abildung (Spiegelung einer Graden an einer anderen)

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