Differentialrechnung

20.04.2006, 17:13

K4I

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Differentialrechnung

Folgendes Problem:

Zeige, dass die Graphen aller Funktionen gk mit dem Graphen von f einen gemeinsamen Schnittpunkt haben und den Graphen von f in diesem Schnittpunkt orthogonal schneiden.

Bestimme alle Zahlen k e R so, dass der Graph von gk den Graphen von f in zwei Punkten orthogonal schneidet.

gk(x)=-kx²+x/2

f(x)=x²-2x

habe angefangen die beiden einfach gleichzusetzen und nach x umzuformen (THX an die leute ausm chat :P ), aber da happerte es schon bei mir, da ich des einfach nich alles anch x bekommen habe :/

aber halt: müsste ich nich eigentlich die beiden ableitungsfunktion gleichsetzen?!

also gk'(a)=f '(a) ?!

doch auch wenn ich das hinbekommen würde, wüsste ich nich genau wie es weiter gehen sollte....

um das mit dem orthogonal hinzubekommen (dass die beiden Graphen sich im rechten winkel schneiden) ist einfach. die summe der beiden ableitungsformen muss -1 ergeben.

20.04.2006, 17:20

Lazarus

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die bedingung das zwei funktionen senkrecht aufeinander stehen ist $\begin{eqnarray*} m_1 \cdot m_2 = -1 \end{eqnarray*}$

also nix mit summe ..

20.04.2006, 17:23

K4I

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Zitat:

Original von Lazarus
die bedingung das zwei funktionen senkrecht aufeinander stehen ist $\begin{eqnarray*} m_1 \cdot m_2 = -1 \end{eqnarray*}$

also nix mit summe ..

meinte ich eigentlich auch, mir is blos das wort entfallen ^^

produkt...

20.04.2006, 17:24

MrPSI

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und nachdem du die Funktionen gleichgesetzt hast, solltest du mal alles auf eine Seite bringen, vereinfachen, Nullstellen finden, etc.

20.04.2006, 17:25

Lazarus

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ja dann setz das doch mal so an!

also $\begin{eqnarray*} g_k'(x) \cdot f'(x)=-1 \; \; \wedge \; \; f(x)=g_k(x) \end{eqnarray*}$

20.04.2006, 17:27

K4I

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Zitat:

Original von Lazarus
ja dann setz das doch mal so an!

also $\begin{eqnarray*} g_k'(x) \cdot f'(x)=-1 \; \; \wedge \; \; f(x)=g_k(x) \end{eqnarray*}$

also, wenn ich die am anfang gleichsetzen will, nehme ich die ausgangsfunktion und nicht die ableitungsfunktion?!

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20.04.2006, 17:29

MrPSI

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ja, ableitungsfunktionen sind ja nämlich nur für die Steigung zuständig.
Du brauchst also hier dann die ausgangsfunktionen.

//edit: kommt sich natürlich auch darauf an, was du unter "anfang" verstehst. ich verstehe darunt die 1. Aufgabe, also das Schneiden der Funktionen.
Wenn du dich aber auf das Zitat beziehst, dann musst du die Ableitungsfunktionen nehmen.

20.04.2006, 17:42

K4I

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shit, bekomm das ding einfach nich nach x umgeformt. bin einfach ohne ende unfähig ^^

$\begin{eqnarray*} -kx^{2}+\frac{x}{2} = x^{2}-2x\\-kx^{2}+2,5x-x^{2} = 0\\x(-kx + 2,5 - x) = 0 \end{eqnarray*}$

20.04.2006, 17:43

MrPSI

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passt doch so, ist vollkommen richtig. du hast jetzt hier ein Produkt, wann wird das 0?

p.s: in der Klammer kannst du noch weiter vereinfachen.

20.04.2006, 17:46

K4I

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Zitat:

Original von MrPSI
passt doch so, ist vollkommen richtig. du hast jetzt hier ein Produkt, wann wird das 0?

p.s: in der Klammer kannst du noch weiter vereinfachen.

ah genau! also wenn x=0 is nen schnitt punkt und wenn das alles inner klammer 0 wird. aber was kann ich da bitte noch vereinfachen?

20.04.2006, 17:47

MrPSI

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Zitat:

aber was kann ich da bitte noch vereinfachen?

was gibt denn -kx-x?

20.04.2006, 17:53

K4I

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x(-k-1)

also--> x(x(-k-1)+25) = 0

oder wie?

20.04.2006, 18:06

MrPSI

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gut, aber jetzt musst du dir den anderen Faktor in deiner Gleichung anschauen, denn auch er kann 0 werden und somit auch das gesamte Produkt. Diesen Klammerausdruck kannst du mit -kx-x=x(-k-1) etwas vereinfachen.

//edit: jo, die vereinfachung stimmt.

20.04.2006, 18:33

K4I

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naja, irgrndwie komm ich da nich richtig weiter!

$\begin{eqnarray*} x(x(-k-1)+2,5)=0 \end{eqnarray*}$

das is der momentane stand der dinge.

wenn x=0 ist, stimmt es auf jeden fall.

x(-k-1) müsste -2,5 sein, damit auch der inhalt der klammer 0 ist.
d.h.
k=1,5
x=1

aber da wir da 2 variablen haben, gibt es doch bestimmt noch mehr möglichekiten. uns selbst wenn, das k verwirrt michg sowieso schon die ganze zeit oO

wie sollte ich jez hier weitermachen?

20.04.2006, 18:43

MrPSI

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ach, war wieder mal richtig tollpatschig. hab gelesen, dass man zeigen soll, es gebe NUR EINEN Schnittpunkt.
Ich bitte vielmals um Verzeihung. Gott

Gott

Damit wäre Aufgabe 1 erledigt.

20.04.2006, 19:04

K4I

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jez die ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2}-2x \Rightarrow f'(a)=2x-2\\gk(x)=-kx^{2}+x/2 \Rightarrow gk'(a)=-k2x/2 \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit?
muss ich jetzt für x nicht überall 0 einsetzen?

20.04.2006, 19:29

mercany

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Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} g_k(x) \end{eqnarray*}$ passt nicht ganz!
Außerdem frag ich mich, warum du bei der Ableitung a als Abhängige schreibst?

Und warum solltest du für x = 0 einsetzen verwirrt

verwirrt

Gruß, mercany

20.04.2006, 19:30

MrPSI

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g'(x) ist falsch. du musst da jeden einzelnen summanden ableiten. und ausserdem hast du das dann falsch vereinigt. -2kx muss erweitert werden wenn du es mit 1/2 zusammenzählen willst. noch dazu müsste dann im Zähler eine Summe stehen, kein Produkt.

20.04.2006, 19:30

K4I

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Zitat:

Original von mercany
Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} g_k(x) \end{eqnarray*}$ passt nicht ganz!
Außerdem frag ich mich, warum du bei der Ableitung a als Abhängige schreibst?

Und warum solltest du für x = 0 einsetzen verwirrt

verwirrt

Gruß, mercany

wie wäre die den richtig?

und ich muss doch mein wert den ch für x rausbekommen habe auch wieder einsetzen oder?

20.04.2006, 19:34

mercany

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Ja, du hast recht!
Hatte den Anfang nicht richtig gelesen gehabt. Sorry!

Zur Ableitung:
Zeig mal, wie du abgeleitet hast.

20.04.2006, 22:57

K4I

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okay, den fehler, den ich oben gemacht habe, habe ich recht schnell entdeckt. schusel-fehler ^^

jez alles nochmal ordentlich:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2}-2x \Rightarrow f'(a)=2x-2\\gk(x)=-kx^{2}+x/2 \Rightarrow gk'(a)=-k2x+1/2 \end{eqnarray*}$

als nächstes setzen wir unser errechnetes x=0 in die ableitungsformen ein.
$\begin{eqnarray*} f'(x)*gk'(x) \end{eqnarray*}$

und ja, es kommt -1 heraus. somit wäre bewiesen, dass am punkt P(0|0) die beiden graphen im rechten winkel aufeinader stoßen.

jez kommt der dritte teil der aufgabe, der besagt, dass der Graph von gk den Graphen von f in zwei Punkten orthogonal (im rechten winkel) schneiden soll. man soll die k-werte heruasbekommen.

Voraussetzungen sind also:
a) f(x)=gk(x) und
b) f'(x)*gk'(x)=-1

a) $\begin{eqnarray*} x^{2}-2x=-kx^{2}+x/2\\x(x(1+k)-2,5)=0 \end{eqnarray*}$

x1: x= 0
x2: x(1+k)-2,5=0 --> $\begin{eqnarray*} x=2,5/1+k \end{eqnarray*}$ <-- mit dem rechnen wir später weiter

b) $\begin{eqnarray*} (2x-2)*(-2kx+1/2)=-1\\x(4k+1-4kx)=0 \end{eqnarray*}$

x1: x= 0
x2: 4k+1-4kx=0 --> $\begin{eqnarray*} x=4k+1/4k \end{eqnarray*}$ <-- den brauchen wir auch gleich noch

so, jez haben wir für beide voraussetzungen nen x-wertbekommen, die wir auch einfach mal wieder gleichsetzen smile

smile

$\begin{eqnarray*} 2,5/1+k=4k+1/4k \end{eqnarray*}$

nach einigem umgeforme kommen wir nun hier hin:

$\begin{eqnarray*} 4k^{2}-5k+1=0 \end{eqnarray*}$

mit hilfe einer quadratischen ergänzung kommen wir nun auf folgendes ergenis:

$\begin{eqnarray*} 4k^{2}-5k+(5/4)^{2}=(5/4)^{2}-1\\(2k-5/4)^{2}=9/16 \end{eqnarray*}$

jez noch die wurzel ziehen, wobei wir ja bei de wurzel aus 9/16 ja ein positives und ein negatives ergenis bekommen.

1) $\begin{eqnarray*} 2k-5/4=3/4\\k=1 \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} 2k-5/4=-3/4\\k=1/4 \end{eqnarray*}$

20.04.2006, 23:10

MrPSI

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Toll gemacht! Ist alles richtig! Freude

Freude

21.04.2006, 01:18

K4I

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Zitat:

Original von MrPSI
Toll gemacht! Ist alles richtig! Freude

Freude

yeah, danke

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