zwei Endomorphismen

20.04.2006, 19:38

Sunwater

zwei Endomorphismen

Hey

ich habe zwei kommutierende Endomorphismen f und g, also $\begin{eqnarray*} f \circ g = g \circ f \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} g,f : V \to V \end{eqnarray*}$

Ich soll zeigen, wenn f und g beide diagonalisierbar sind, so besitzen sie eine gemeinsame Eigenbasis.

Wenn f und g diagonalisierbar sind, heißt das ja, dass sie erstmal überhaupt eine Basis besitzen...

Sei jetzt $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ eine Eigenbasis von V bzgl. f, dann gilt ja:

$\begin{eqnarray*} f(v_1) = \lambda _1 v_1 , ... , f(v_n) = \lambda _n v_n \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich doch zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} g(v_i) = \lambda _i v_i \text{ für alle }\text v_i, i=1,...,n \end{eqnarray*}$

aber das gilt ja nicht für jede Eigenbasis bzgl. f, sondern nur für eine bestimmte, oder?

also ich komme einfach nicht mit meinem Ansatz weiter...

21.04.2006, 00:48

Abakus

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RE: zwei Endomorphismen
Statt der Basis hast du sogar eine Orthogonalbasis. Ansonsten versuche einfach mal die Voraussetzung mit der Vertauschbarkeit auszunutzen. Die Argumente zum Herumprobieren sind dabei die Vektoren deiner Orthogonalbasis.

Grüße Abakus smile

21.04.2006, 16:47

Sunwater

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was ist denn eine Orthogonalbasis?

21.04.2006, 17:53

Ace Piet

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> was ist denn eine Orthogonalbasis?
Forum Kloppe

Ernsthaft???

Antwort:
(1) eine Basis $\begin{eqnarray*} (v_1,~ \ldots ~,v_n) \end{eqnarray*}$ mit der zusätzl. Eigenschaft (2)
(2) Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} <v_i, v_j> =0 \quad \forall ~i \neq j \iff v_i \perp v_j \end{eqnarray*}$ (deshalb orthogonal)
_________________

P.S.:

Edit: (ergänzt) FYI
*Wiki-Klick* orthogonal --> o. Vektoren \ o. Matrizen
*Wiki-Klick* orth.Matrix --> "Was sind die Spalten einer o.Matrix ?"

Antwort auf eine nicht gestellte Frage: Wie kommt "Linearität" in eine Abbildung hinein? Siehe 29.03.06 - 16:36 (ff.) läßt sich ohne Probleme auf "Wie kommt Orthogonalität in eine Matrix / Abb. rein" übertragen. - Lösung: Es sind alles NUR Abbildungen in V bzgl. verschiedenen Basis-/ (Träger)-Darstellungen... - HTH *sorry*

22.04.2006, 11:29

Sunwater

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ich glaub das kann ich nicht benutzen - wir haben noch nicht bewiesen, dass eine Eigenbasis eine Orthogonalbasis ist...

23.04.2006, 01:14

Abakus

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Es seien v, w Eigenvektoren zu Eigenwerten $\begin{eqnarray*} \lambda, \mu \end{eqnarray*}$ von f und f diagonalisierbar. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lambda~ * <v, w> = <f(v), w> = <v, f(w)> = \mu~ * <v, w> \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \ne \mu \end{eqnarray*}$ , kann diese Gleichung nur bestehen, wenn <v, w> = 0.

Grüße Abakus smile

27.04.2011, 22:01

supertux

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skalarprodukt
Ein Skalarprodukt kannst du doch aber nur verwenden, falls es sich um einen Vektorraum V über R oder C handelt... F_2 ist ja nicht geordnet z. B. ....

27.04.2011, 22:13

jester.

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RE: skalarprodukt

Zitat:

Original von supertux
Ein Skalarprodukt kannst du doch aber nur verwenden, falls es sich um einen Vektorraum V über R oder C handelt... F_2 ist ja nicht geordnet z. B. ....

Richtig, und auch über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ hat nicht jeder diagonalisierbare Endomorphismus zueinander orthogonale Eigenräume. Selbstadjungierte Endomorphismen erfüllen diese Eigenschaft jedoch z.B. stets.

Edit: Ein Gegenbeispiel liefert $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, ~ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}0&-2 \\ 1&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , die Eigenräume sind von $\begin{eqnarray*} (-2,1)^{tr} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-1,1)^{tr} \end{eqnarray*}$ erzeugt.

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