Frage zur Kochschen Schneeflocke - Flächeninhalt

11.07.2008, 22:39

chrizke

Frage zur Kochschen Schneeflocke - Flächeninhalt

Hi,
ich habe eine Frage zur Kochschen Schneeflocke und deren Flächeninhalt:

Um den Flächeninhalt zu berechnen, muss man ja die Reihe der einzelnen Flächeninhalte der neu hinzukommenden Dreiecke der jeweiligen Stufe berechnen.

Es handelt sich um eine geometrische Reihe.

Soweit kein Problem.

Das Problem ist nun, dass ich nicht verstehe, warum die Stufe 0, also das Ursprungsdreieck, nicht mit in die geometrische Reihe einfließt, obwohl die ja bei n=0 beginnt.

Mir ist schon klar, dass man bei Stufe 0 nicht mit der Formel arbeiten kann, da dann irgendwas mit 4/3 Ursprungsseiten rauskäme, wenn ich das richtig in Erinnerung habe.

Ich hoffe ihr versteht, wo mein Problem liegt Augenzwinkern

chrizke

11.07.2008, 23:23

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Zitat:

Original von chrizke
Das Problem ist nun, dass ich nicht verstehe, warum die Stufe 0, also das Ursprungsdreieck, nicht mit in die geometrische Reihe einfließt, obwohl die ja bei n=0 beginnt.

Vielleicht belegst du mal konkret an Formeln, was dir nicht gefällt. Ich finde diese Art nebulöser Fragen sonst ziemlich sinnlos - zumal hier offenkundig ist, dass das Startdreieck gesondert behandelt werden muss:

$\begin{eqnarray*} 1, 3, 3\cdot 4, 3\cdot 4^2, 3\cdot 4^3 \end{eqnarray*}$

Das die Anzahl der Dreiecke in den ersten Verkleinerungsstufen - beginnend mit dem Startdreieck.

[attach]8428[/attach]

12.07.2008, 10:36

chrizke

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Also ich weiß ja, dass pro Stufe so viele neue Dreiecke hinzukommen, wie die vorige Stufe Seiten hatte:

$\begin{eqnarray*} N=3\cdot 4^{n-1} \end{eqnarray*}$

Dann weiß ich auch, dass die Seitenlänge einer Stufe folgendem entspricht:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{3})^n \end{eqnarray*}$

So und ein gleichseitiges Dreieck hat folgenden Flächeninhalt:

$\begin{eqnarray*} A_\Delta=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2 \end{eqnarray*}$ mit der Seitenlänge a.

Diese Seitenlänge kann man nun durch die der aktuellen Stufe ersetzen:

$\begin{eqnarray*} A=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (\frac{1}{3})^{2n} \end{eqnarray*}$

Und da man pro Stufe ja N neue dreiecke hat, muss man damit noch multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} A=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (\frac{1}{3})^{2n}\cdot (3\cdot 4^{n-1}) \end{eqnarray*}$
Fasst man das nun zusammen erhält man:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3}}{12}\cdot (\frac{4}{9})^{n-1} \end{eqnarray*}$

Um nun den Flächeninhalt zu erhalten bildet man ja die geometrische Reihe und setzt es in die entsprechende Formel ein und erhält:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=}^n~\frac{\sqrt{3}}{12}\cdot \left (\frac{4}{9}\right )^{n-1} = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot \frac{\left (\frac{4}{9}\right )^{n}-1}{\left (\frac{4}{9}\right )^{n-1}-1} \end{eqnarray*}$

Ich bin mir jetzt aber nicht sicher, wo die Untergrenze liegt. Die geometrische Reihe beginnt ja bei 0, aber wenn ich die Formel nur von 0 nach 0 nehme, kommt nicht der richtige Flächeninhalt raus.

Kann mir jemand diesen Sachverhalt erklären.

12.07.2008, 10:50

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Vielleicht hast du das nicht richtig verstanden:

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} 1, 3, 3\cdot 4, 3\cdot 4^2, 3\cdot 4^3 \end{eqnarray*}$

Nochmal im einzelnen:

1 steht für das große Dreieck in der Mitte, mit Seitenlänge 1.

3 ist die Anzahl der aufgesetzen Dreiecke der Seitenlänge 1/3 (erste Iterationsstufe).

3*4 ist die Anzahl der aufgesetzen Dreiecke der Seitenlänge 1/3^2 (zweite Iterationsstufe).

3*4^2 ist die Anzahl der aufgesetzen Dreiecke der Seitenlänge 1/3^3 (zweite Iterationsstufe) ...

Den Anfang hast du nicht berücksichtigt, jedenfalls sehe ich in deiner Rechnung nicht die geringsten Anzeichen dafür. unglücklich

Der Anfang passt nun mal nicht genau in die geometrische Reihe - finde dich endlich damit ab!

12.07.2008, 10:58

chrizke

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Es ist mir auch schon aufgefallen, dass das erste nicht da rein passt. Hab ich ja auch geschrieben.

Also fange ich bei k=1 an und muss den Flächeninhalt vom gorßen Dreieck einfach dazu addieren?

Aber fängt die geometrische Reihe nicht immer bei k=0 an?

Zitat:

finde dich endlich damit ab!

Hey kein Grund direkt unfreundlich zu werden.

12.07.2008, 11:02

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Nun sei mal nicht so empfindsam: Bei sturem Beharren (wie hier auf durchgängige geometrische Reihe) muss man eben mal etwas deutlicher werden, ansonsten artet das in ewige Diskussionen aus.

12.07.2008, 11:06

chrizke

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Also ich hab keine große Ahnung von Reihen etc.

Kann man die einfach so bei 1 starten lassen? Anscheinend. Nur warum? In der Herleitung beginnt man ja auch mit dem a.

12.07.2008, 11:10

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Ja, kann man - da gibt es keine Verbote. Man muss das natürlich bei der Summenformel berücksichtigen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=n_0}^{\infty} q^n = q^{n_0} \cdot \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{q^{n_0}}{1-q} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$

Dabei ist der Anfangsindex $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ beliebig ganzzahlig wählbar.

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