Differentialgeometrie, Differentialformen, Einsteinsche Summenkonvention

11.07.2008, 23:17	Krecik	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgeometrie, Differentialformen, Einsteinsche Summenkonvention Hallo! Ich lern grad Differentialgeometrie und hab ein Verständnisproblem. Zunächst will ich die nötigen Notationen einführen, damit es nicht zu Missverständnissen kommt. Wem dieses Vorgeplänkel zuviel ist, der kann auch direkt nach unten scrollen zu dem fettgedruckten Schriftzug "Jetzt geht's los", wo ich endlich zu dem eigentlichen Problem komme. Sei M eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, $\begin{eqnarray} p\in M \end{eqnarray}$ , U eine Umgebung von p, $\begin{eqnarray} q: U \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ eine Kartenabbildung, $\begin{eqnarray} q': U \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ eine zweite Kartenabbildung. Die Koordinatenbasis des Tangentialraums $\begin{eqnarray} T_pM \end{eqnarray}$ von p bezüglich der Karte q sei durch $\begin{eqnarray} (\partial_i)_{1\leq i\leq n} \end{eqnarray}$ und die Koordinatenbasis bezüglich q' durch $\begin{eqnarray} (\partial'_i)_{1\leq i\leq n} \end{eqnarray}$ bezeichnet. Die dadurch induzierten Basen $\begin{eqnarray} (dq^i)_{1\leq i\leq n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (dq'^i)_{1\leq i\leq n} \end{eqnarray}$ des Kotangentialraums $\begin{eqnarray} T^_pM \end{eqnarray}$ sind dann gegeben durch die Festsetzungen $\begin{eqnarray} dq^i\partial_j=\delta^i_j \end{eqnarray}$ (Kronecker-Delta). Es gilt: $\begin{eqnarray} \partial'_i=\sum_j \frac{\partial q^j}{\partial q'^i}\partial_j \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} dq'^i=\sum_j \frac{\partial q'^i}{\partial q^j}dq^j \end{eqnarray}$ . Dabei sind $\begin{eqnarray} \frac{\partial q^j}{\partial q'^i}=\frac{\partial}{\partial x_i}(q\circ q'^{-1})(q'(p)) \end{eqnarray}$ die partiellen Ableitungen des Kartenwechsels $\begin{eqnarray} q \circ q'^{-1} \end{eqnarray}$ . Soweit hab ich das alles verstanden. Jetzt wird ein Skalarfeld $\begin{eqnarray} f: M \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ auf M betrachtet und die äußere Ableitung $\begin{eqnarray} df(p) \in T^_pM \end{eqnarray}$ von f am Punkt p folgendermaßen definiert: $\begin{eqnarray} df(p)=\sum_i dq^i\partial_i \tilde f(q_p) \end{eqnarray}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray} q_p=q(p) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tilde f=f\circ q^{-1} \end{eqnarray}$ . Das sieht für mich erst mal ganz sinnvoll aus. Das $\begin{eqnarray} \partial_i \end{eqnarray}$ ist hier offenbar als partieller Ableitungsoperator $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x_i} \end{eqnarray}$ aufzufassen, obwohl später damit gerechnet wird wie mit den Basisvektoren $\begin{eqnarray} \partial_i \end{eqnarray}$ des Tangentialraums $\begin{eqnarray} T_pM \end{eqnarray}$ . JETZT GEHT'S LOS! Nun soll gezeigt werden, dass die Definition von $\begin{eqnarray} df(p) \end{eqnarray}$ tatsächlich unabhängig von der Wahl der Karte $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ ist. Dazu setzt man analog zu oben $\begin{eqnarray} \tilde f'=f\circ q'^{-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q'_p=q'(p) \end{eqnarray}$ . Das ist die Stelle, an der mir dann alles etwas dubios wird. Der Autor, dessen Werk ich lese, schreibt zum Beweis, dass dies tatsächlich der Fall ist, nur ganz kurz in Einsteinscher Summenkonvention: $\begin{eqnarray} dq'^\nu\partial'_\nu \tilde f'(q'_p)=dq^\mu\frac{\partial q'^\nu}{\partial q^\mu}\frac{\partial q^\rho}{\partial q'^\nu}\partial_\rho \tilde f(q_p)=dq^\mu\partial_\mu \tilde f(q_p)=df(p) \end{eqnarray}$ . Dabei bedient er sich offenbar der oben angegebenen Transformationsformeln für die verschiedenen Koordinatenbasen von $\begin{eqnarray} T_pM \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T^_pM \end{eqnarray}$ . Wenn ich es aber nun ausführlich hinschreibe, komme ich auf ein merkwürdiges Ergebnis: $\begin{eqnarray} \sum_{\nu=1}^ndq'^\nu\partial'_\nu \tilde f'(q'_p)=\sum_{\nu=1}^n \left( \sum_{\mu=1}^n\frac{\partial q'^\nu}{\partial q^\mu}dq^\mu \right) \left( \sum_{\rho=1}^n\frac{\partial q^\rho}{\partial q'^\nu}\partial_\rho \right) \tilde f(q_p)=\sum_{\nu=1}^n\sum_{\mu=1}^n\sum_{\rho=1}^n\frac{\partial q'^\nu}{\partial q^\mu}\frac{\partial q^\rho}{\partial q'^\nu}dq^\mu\partial_\rho\tilde f(q_p) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{\nu=1}^n\sum_{\mu=1}^n\sum_{\rho=1}^n\frac{\partial q^\rho}{\partial q^\mu}dq^\mu\partial_\rho\tilde f(q_p)=\sum_{\nu=1}^n\sum_{\mu=1}^n\sum_{\rho=1}^n\delta^\rho_\mu dq^\mu\partial_\rho\tilde f(q_p) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{\nu=1}^n\sum_{\mu=1}^n dq^\mu\partial_\mu\tilde f(q_p)=n\sum_{\mu=1}^n dq^\mu\partial_\mu\tilde f(q_p)=n\cdot df(p) \end{eqnarray}$ Natürlich macht das keinen Sinn und deshalb frage ich mich, wo der Fehler ist, habe ich doch nach bestem Wissen und Gewissen jeden Rechenschritt ausführlichst niedergeschrieben. Offenbar geht bei der kurzen Umformung des Autors unter Benutzung der Einstein-Konvention die Summation über $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ verloren, was aber anscheinend seine Richtigkeit hat. Ich verstehe nur nicht, warum. Ich muss zugeben, dass auch die Tatsache, dass aus dem $\begin{eqnarray} \tilde f'(q'_p) \end{eqnarray}$ nach dem ersten Gleichheitszeichen so ohne weiteres ein $\begin{eqnarray} \tilde f(q_p) \end{eqnarray*}$ wird, für mich ein wenig nach dunkler Magie aussieht. Irgendwie scheint es schon Sinn zu machen, aber mein Hirn verknotet sich, wenn ich versuche, es wirklich zu begreifen. Ich wäre zutiefst dankbar, wenn mich jemand erleuchten könnte. Denn du bist ein Mann - mit Titten. So spricht der Herr!
17.07.2008, 19:35	trollkotze	Auf diesen Beitrag antworten »
alternierende Differentialformen - Was ist das? <Edit> Ups, wollte eigentlich einen neuen Thread eröffnen. Mein altes Problem hat sich übrigens erledigt. Hätte nicht aus $\begin{eqnarray} \frac{\partial%20q'^\nu}{\partial%20q^\mu}\frac{\partial%20q^\rho}{\partial%20q'^\nu} \end{eqnarray}$ einfach so $\begin{eqnarray} \frac{\partial%20q^\rho}{\partial%20q^\mu} \end{eqnarray}$ machen dürfen. </Edit> Hallo! Aus der stinknormalen mehrdimensionalen Analysis kenne ich folgendes: Sei $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ eine differenzierbare Abbildung. Dann definiert man die totale Ableitung folgendermaßen: $\begin{eqnarray} df: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^{n\times m}, x \mapsto \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x^1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial x^m} \\ ... & ... & ... \\ \frac{\partial f_n}{\partial x^1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial x^m} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Man kann auch $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{n\times m} \end{eqnarray}$ mit dem Tensorprodukt $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{m}\otimes \mathbb{R}^n=Hom_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^n) \end{eqnarray}$ identifizieren und schreibt dann $\begin{eqnarray} df=\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x^j}dx^j\otimes e_i \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} (e_i)_{1\leq i \leq n} \end{eqnarray}$ die Standardasis des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (dx^j)_{1\leq j\leq m} \end{eqnarray}$ die Standarddualbasis des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^m \end{eqnarray}$ sein soll (d.h. die Linearformen auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^m \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} dx^i e_j=\delta^i_j \end{eqnarray}$ für die Standardbasisvektoren $\begin{eqnarray} e_j \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^m \end{eqnarray}$ , die hier zweideutigerweise genauso bezeichnet seien wie die des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ ). Vielleicht ist dieser Formalismus ein bisschen komisch zusammengewurschtelt, aber ja durchaus nicht falsch. Denn so kann man auch die höheren Ableitungen einfach hinschreiben (es ist ja so schwer, eine Matrix in mehr als zwei Index-Dimensionen aufzuschreiben): $\begin{eqnarray} d²f=d(df): \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^{m}\otimes\mathbb{R}^{m}\otimes\mathbb{R}^n, x \mapsto \sum_{k=1}^m \sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 f_i(x)}{\partial x^k\partial x^j}dx^k\otimes dx^j\otimes e_i \end{eqnarray}$ und so weiter... $\begin{eqnarray} d^kf: \mathbb{R}^m \to (\mathbb{R}^{m})^{\otimes k} \otimes \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ Was aber hat es nun mit alternierenden Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten auf sich? Da wird nun statt dem normalen Tensorprodukt das Keilprodukt ( $\begin{eqnarray} \wedge \end{eqnarray}$ ) verwendet. Für eine Funktion $\begin{eqnarray} f: M \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ sieht dann die Ableitung formal noch so aus wie immer: $\begin{eqnarray} df(p)=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f(p)}{\partial x^i}dx^i \end{eqnarray}$ (bezüglich einer lokalen Koordinatenbasis $\begin{eqnarray} x^1, ..., x^n \end{eqnarray}$ ) Aber bei der zweiten Ableitung sieht dann ja schon alles ganz anders aus: $\begin{eqnarray} d²f(p)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \frac{\partial² f(p)}{\partial x^i\partial x^j}dx^i\wedge dx^j=0 \end{eqnarray}$ , weil ja $\begin{eqnarray} dx^i\wedge dx^j=-dx^j\wedge dx^i \end{eqnarray}$ in der Grassmann-Algebra gilt. Die formale Definition versteh ich. Aber wirklich begreifen tu ich eigentlich gar nichts. Was hat man sich denn unter diesen Grassmann-Tensorprodukten vorzustellen? Beim normalen Tensorprodukt wusste man ja, das Tensorprodukt $\begin{eqnarray} (\mathbb{R}^{m})^{\otimes^3} \end{eqnarray*}$ bedeutet "Raum der linearen Abbildungen in den Raum der linearen Abbildungen in den Raum der linearen Abbildungen von R^m nach R" zum Beispiel. Aber was sind denn diese Dachprodukte bloß für Objekte?. Und was passiert denn, wenn man statt des Dachproduktes das normale Tensorprodukt nimmt? Darf man das nicht mehr machen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten? Wenn ja: Warum nicht?

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