Endomorphismus aufspalten

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Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »
Endomorphismus aufspalten
Hi...

Sei K algebraisch abgeschlossen, V endlich-dim. Vektorraum und f: V->V ein Endomorphismus.

ich soll zeigen, dass dann gilt:

f=s+n mit s diagonalisierbar und n nilpotent.

Wegen den Vorraussetzungen existiert ja eine Basis von V, so dass f Dreiecksgestalt hat... - also o.B.d.A. so:



und das kann ich zerlegen in:



der erste Summand sei und der zweite

also die Matrizen, die die Abbildungen s und n darstellen - dann ist s diagonalisierbar und n nilpotent...

soweit bin ich erstmal selbst...

als nächste Aufgabe soll ich zeigen, dass diese Darstellung eindeutig ist.

Wenn ich jetzt aber sage, dass die Darstellung von f, also die Matrix eindeutig festgelegt ist, weil ja eine Abbildung durch die Bilder ihrer Basisvektoren eindeutig bestimmt ist - reicht das nicht schon?

weil kann doch gar nicht anders zerteilt werden, als auf oben angebene Weise, oder?

Sunwater
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo sunwater,

es könnte ja noch eine Darstellung geben, die nicht von der Dreiecksgestalt ausgeht.

Nehme doch mal an, es gäbe zwei Darstellung f=s+n und f=s'+n'.
...

Gruß
Anirahtak
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus aufspalten
Idee!


(Vorgeschwafel)
ist ein -dim. VR bzgl. (üblichem) + und der SkalarMultiplikation und hat damit eine Basis(!), etwa ... . - Anschaulich: Letztere haben eine 1 in der i-ten Zeile, j-ten Spalte und 0 sonst.

Damit gibt es für jedes eine eindeutige (weil Basis-)Darstellung:

U (upper) und L (lower) sind genau Deine unteren / oberen DreiecksMatrizen.


Bleibt z.zg.:
(a) ist UVR von ... (hilfsweise für b)
(b) U nilpotent (L dann auch, weil vom Typ ) und weil U Lin.Kombi der folgt die Nilpotenz von N = U + L aus (a), falls die es sind.


Beweise
(b) - ... (b)-fertisch

(a) - Wenn und , dann

Wenn und und (oE.) , dann (Dein Beweisanteil)
d.h. folgt .

Wink
___________________

Edit + PS.: Mal ist , mal gemeint, ohne daß ich andere Bezeichner wähle. - Die entspr. Operationen sind jedoch stets wohldef. - So ein ist ein Spaltenvektor, also ein Zeilenvektor. - HTH
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ace Piet,

1. Wo benutzt du, dass der Körper algebraisch abgeschlossen ist?

2. M, N in Nil(V) => N+M in Nil(V) ? Das glaube ich nicht:





ABER:



Der Grund dafür ist, dass die Matrixmultiplikation nicht kommuatativ ist und somit die Potenzregeln nicht so funktionieren.

Gruß
Anirahtak
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