Zusammenhang Jacobi-Matrix und Hessematrix |
| 12.07.2008, 10:01 | Alexander87 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Zusammenhang Jacobi-Matrix und Hessematrix Bei uns in der Vorlesung über lineare Optimierung ging es bisher um mehrdimensionale Funktionen, also f(x1,...,xn) und unter anderem um deren Extremwertbestimmung etc. Dazu wird also der Gradient der Funktion = 0 gesetzt und mittels der Hessematrix überprüft, ob es sich um ein Maximum, Minimum oder eben gar nichts von beidem handelt. Liegt nun aber eine vektorwertige Funktion vor, also "mehrere Funktionen" in einem Vektor zusammengefasst, ist ja die Jacobi-Matrix die 1. Ableitung der Funktion. Aber wie bilde ich denn nun die 2. Ableitung bzw. die Hessematrix. Kann ich das überhaupt oder müsste es nicht so sein, dass die Hessematrix nur für mehrdimensionale Funktionen existiert? Wäre super, wenn mir da mal jemand den Zusammenhang erklären könnte. Dankeschön! Alex |
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| 12.07.2008, 10:11 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Zusammenhang Jacobi-Matrix und Hessematrix Es geht dir also um Extremwertaufgaben: Wie definierst du denn ein lokales Maximum einer vektorwertigen Funktion? Die Hesse Matrix ist nur für skalarwertige Funktionen definiert. Und: Warum postest du in der Algebra-Sektion? *verschoben* |
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| 12.07.2008, 19:05 | trollkotze | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da es sich bei der Hesse-Matrix lediglich um die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen handelt, gibt es natürlich auch ein Anologon für mehrdimensionale Funktionen. In diesem Fall hat jede Komponentenfunktion natürlich ihre Hesse-Matrix. Und diese Matrizen kann man sich im dreidimensionalen "aufeinandergestapelt" vorstellen. Natürlich kann man sowas dann schlecht aufschreiben. Aber so wie eben das zweidimensionale Matrix als Erweiterung des eindimensionalen Zeilen- oder Spaltenvektorschemas denken kann, geht das im Prinzip natürlich auch ins dreidimensionale und noch weiter. Im Physiker-Jargon heißen diese Erweiterungen (Skalar -> Vektor -> Matrix -> ...) Tensoren so und so vielter Stufe. Ein Skalar ist ein Tensor nullter Stufe, ein Vektor ein Tensor erster Stufe, eine Matrix Tensor zweiter Stufe und so weiter. |
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