Umkehrbarkeit "beweisen"

20.04.2006, 22:22

MAX-NEUSS

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Umkehrbarkeit "beweisen"

Hallo,

Ich wollte für die Abiklausur nur mal kurz nachfragen wie man eine Bijektivität "BEWEIST"

also klar, die Funktion muss auf dem Intervall (meistens R) je ein Y Wert zu jedem X haben, also monoton sein.

Wie geht man vor um eine Umkehrbarkeit zu beweisen.
Erste ableitung gleich 0 setzen und auf nullstellen überprüfen? (Aber dann kann es doch sattelstellen geben oder)

Oder schauen ob es extrema Gibt?

Wie macht man das am besten? Möchte da nichts falsch machen!

Danke ihrz

20.04.2006, 22:52

MrY

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Hm, eine Funktion ist doch genau dann umkehrbar, wenn es jeden y-wert nur einmal gibt. Also darf es keine Extrempunkte geben. Ist aber nur so eine Idee.

20.04.2006, 23:00

Lazarus

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Es dürfte auch keine Sattelstellen geben, oder noch ein Stück allgemeiner keine Waagerechten Tangenten, doch das Reicht nur, wenn man eine Stetige Funktion betrachtet.
Ist sie Unstetig, ist das noch lange keine Begründung!

Andrerseits ist die Unstetigkeit alleine auch noch kein Grund, für keine Bijektivität.

20.04.2006, 23:04

MAX-NEUSS

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Meinst du denn es reicht wenn ich in einer NRW klausur schreibe, ableitung wird nie null darum ist es umkehrbar?

grüße

20.04.2006, 23:10

rain

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das dürfte wohl eher nicht auf das bundesland,sondern auf den korrektor ankommen.aber wenn du es sauber niederschreibst und beweist muss es eignetlich akzeptiert werden.

Gr,
rain

20.04.2006, 23:11

Lazarus

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was ist denn eine "NRW-Klausur" ?

Wenn du auchnoch mit der Stetigkeit der Funktion argumentierst, und sicherstellst das es keine Definitionslücken gibt, langt das!

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20.04.2006, 23:18

MrY

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Warum soll es denn keine Sattelstellen geben dürfen? Bei der Sattelstelle ist die Ableitung doch nur an einer Stelle 0!? Links und rechts davon sind doch die y-werte verschieden?

20.04.2006, 23:19

MAX-NEUSS

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Hey

OT: NRW-Klausur habe ich das jetzt genannt, weil NRW ja das einfachste Abi von allen Bundesländert haben soll! Wiegesagt nur hörensagen!

Also Stetigkeit heisst dass es keine Definitionslücken gibt! Okay aber was passiert wenn es tatsächlich definitionslücken gibt. Die Funktion ließe sich ja schon "Umkehren" und der Wertebereich tauscht den Platz mit der Definitionsmenge.

Wieso wäre denn eine Funktion mit Loch im Graphen nicht umkehrbar!

Aber natürlich hast du recht. Eine Funktion mit Polstelle ohne Extrema ist auch nicht ohne weiteres Umkehrbar oder doch? Also ich meine irgendwann man gehört zu haben dass die Polasymptoten sich spiegeln, aber das ist echt um 3 ecken gehört?

Okay ich fasse zusammen:
- Ableitung = 0 tritt nie ein
- Keine Polstellen oder Löcher im graphen?

Ist das richtig? Würde mich natürlich sehr über eine Erläuterung zu Spiegelnden Asymptoten und Löchern im Graphen hören.

Ganz liebe Grüße

20.04.2006, 23:23

Calvin

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Zitat:

Original von MAX-NEUSS
- Ableitung = 0 tritt nie ein

Wenn du auf der ganz sicheren Seite sein willst, dann nimm die Bedingung, dass f streng monoton sein muss. Das heißt entweder ist f'(x) für alle x größer als 0 oder für alle x kleiner als 0.

Dann hast du auch das Problem mit den Polstellen umgangen.

20.04.2006, 23:24

rain

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wenn eine funktion eine definitonslücke besitzt,exstiert an dieser stelle einfach keine funktion oder keine punkte,deswegen ist es meiner meinung nach sinnlos hier die fkt auf stetigkeit zu prüfen..

f(x)=1/x hat auch eine definitonslücke und ist umkehrbar.und diese funktion ist auf ihrem definitionsbereich stetig.

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{x\cdot(x-3)}{x-3} \end{eqnarray*}$ das schaubild von g hat an der stelle x=3 ein Loch und ist trotzdem umkehrbar.

20.04.2006, 23:26

MAX-NEUSS

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oha, das klingt natürlich logisch!

Wie überprüft man das denn, durch scharfes hinsehen, oder kann man das auch mathematisch "herleiten" bzw "beweisen" ... vll. eine Ungleichung aufstellen?

Aber eines weiss ich: Scharfes Hinsehen genügt nicht im Abi zu schreiben smile

smile

das ist der Knackpunkt

Grüße!
Danke für eure Hilfe

20.04.2006, 23:30

rain

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calvin hat doch schon geschrieben wie das mit der strengen monotonie geht.

Zitat:

Wenn du auf der ganz sicheren Seite sein willst, dann nimm die Bedingung, dass f streng monoton sein muss. Das heißt entweder ist f'(x) für alle x größer als 0 oder für alle x kleiner als 0.

20.04.2006, 23:34

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}& \mbox{für } x<0 \\ \ln(x) & \mbox{für } x> 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \; \setminus 0 \end{eqnarray*}$

Genau die Eigenschaften: Stetig, keine Nullstellen der ersten Ableitung, nicht umkehrbar.

Servus

20.04.2006, 23:37

MAX-NEUSS

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Zitat:

Original von raindrop1987
calvin hat doch schon geschrieben wie das mit der strengen monotonie geht.

Zitat:

Wenn du auf der ganz sicheren Seite sein willst, dann nimm die Bedingung, dass f streng monoton sein muss. Das heißt entweder ist f'(x) für alle x größer als 0 oder für alle x kleiner als 0.

Schon klar smile

smile

das hab ich schon verstanden! Mir fehlt jetzt nur das Mathematische Verfahren zur überprüfung ob ein Term nie negativ wird z.b.

grüße

20.04.2006, 23:41

Calvin

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Patentrezept gibt es da leider nicht. Probiere mal aus, ob du binomische Formeln anwenden kannst. Oder suche nach x mit geraden Potenzen. Da helfen am besten ein paar Beispiele.

21.04.2006, 03:22

Ace Piet

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RE: Umkehrbarkeit "beweisen"
(OT) - Nicht konstruktiv...
> > wie man eine Bijektivität "BEWEIST"

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: ~\mathbb D \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ hat zunächst mal mindestens einen Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb D \end{eqnarray*}$ .

Was sie NICHT hat, falls nicht EXPLIZIT vorgegeben, sind zusätzliche Eigenschaften, wie Diff.barkeit oder "Polynom-sein".

> auf der ganz sicheren Seite sein willst
Trifft ein ganz anderes Thema: "hinreichend, aber nicht notwendig" ...

Man hat stets 2 Eigenschaften nachzuweisen:
$\begin{eqnarray*} bijektiv \iff injektiv \quad UND \quad surjektiv \end{eqnarray*}$

> Sattelstellen
$\begin{eqnarray*} x \mapsto x^3 \end{eqnarray*}$ ist auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bijektiv und hat "Sattelstellen".
> - Ableitung = 0 tritt nie ein
Wohl doch... (damit erledigt)

> Polstellen
$\begin{eqnarray*} f: ~\mathbb D \to \mathbb R \quad f(x) := \begin{cases} \frac{1}{x} ~\mid~ x \neq 0 \\ 0 ~\mid~ x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$
Ist nicht stetig, stückweise monoton, hat Polstelle, ist aber bijektiv.

> Sprungstelle
$\begin{eqnarray*} f: ~\mathbb D \to \mathbb R \quad f(x) := \begin{cases} x \quad : \mid x \mid > 1 \\ -x \quad : x \in [-1; +1] \end{cases} \end{eqnarray*}$
Nicht stetig, Sprungstelle, stückweise streng monoton, IMO bijektiv...

> $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{x\cdot(x-3)}{x-3} \end{eqnarray*}$
> hat an der stelle x=3 ein Loch und ist trotzdem umkehrbar.
Denkste! - Die Funktion ist nicht surjektiv, vermöge 3 hat kein Urbild...

Wink

Wink

21.04.2006, 11:46

Lazarus

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g(x) könnte man stetig ergänzen, dann wäre es umkehrbar, dass ist nicht das Problem @ Ace.
Dass was du im ersten Abschnitt deines beitrages gesagt hast, finde ich wiegt viel schwerer!Denn wenn ich das sagen darf, was hier betrachtet werden, sind Lineare funktionen, Maximal Polynome, und das sind, so leid es mir tut, schon fast triviale einzelfälle, bei denen man (meist) auf den ersten blick (oder durch einfache methoden) erkennt ob eine bijektion vorliegt.
Meiner Meinung nach, darf allerdings dann nicht der Fehler gemacht werden, dass auf andere Komplexere Funktionen, bei denen es eigentlich erst interessant wird, zu verallgemeinern!

21.04.2006, 11:47

Leopold

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@ MrY

Ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf einem Intervall (!!!) $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ definiert, so ist die strenge Monotonie hinreichend für die Umkehrbarkeit. Und wenn man zusätzlich Differenzierbarkeit voraussetzt, so genügt für die strenge Monotonie, daß $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ im Innern (!!!) von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ keinen Vorzeichenwechsel hat.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 \ \ \mbox{für} \ x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_1 = (-\infty,0] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I_2 = [0,\infty) \end{eqnarray*}$

Im Innern sowohl von $\begin{eqnarray*} I_1 \end{eqnarray*}$ als auch von $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f'(x)>0 \end{eqnarray*}$ . Daher ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sowohl in $\begin{eqnarray*} I_1 \end{eqnarray*}$ als auch in $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend. Da die Intervalle aneinander anschließen, ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im ganzen Definitionsbereich streng monoton wachsend.

Anders gesagt: Eine isolierte Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ stört die strenge Monotonie nicht, wenn nur ansonsten $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ (oder stets $\begin{eqnarray*} <0 \end{eqnarray*}$ ) ist. Deine Bemerkung hinsichtlich Sattelpunkten war also korrekt.

21.04.2006, 11:48

MAX-NEUSS

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ja wie würde mann denn die Bijektivität einer e-Funktion dann betrachten. ich meine Umkehrbar sind sie ja, nur wie zeigt man das rechnerisch? "Scharfes hinsehen, e Funktion wird nie null, laso auch ableitung nicht" - Reicht kkeinesfalls im Abi!

Freu mich auf antworten

21.04.2006, 11:53

Leopold

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Umkehrbarkeit heißt doch soviel wie (eindeutige!) Auflösbarkeit nach der unabhängigen Variablen. Wenn das mit Äquivalenzumformungen machbar ist, so ist die Funktion auch umkehrbar.

Im Falle von Basisfunktionen wie der e-Funktion darf man auch Grundeigenschaften solcher verwenden. Die e-Funktion ist bekanntlich streng monoton wachsend und damit auch umkehrbar.

$\begin{eqnarray*} y = \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist die unabhängige, $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die abhängige Variable. Auflösen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x = \ln{y} \end{eqnarray*}$

Daß dieses formale Auflösen korrekt ist, ergibt sich wie gesagt aus der strengen Monotonie der e-Funktion.

21.04.2006, 12:57

Ace Piet

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> Definition auf einem Intervall
verwirrt

verwirrt

Ausgehend von dem (bijektiven)"Sprungstellenbsp."
$\begin{eqnarray*} f: ~\mathbb D \to \mathbb R \quad f(x) := \begin{cases} x \quad : \mid x \mid > 1 \\ -x \quad : x \in [-1; +1] \end{cases} \end{eqnarray*}$

Gibt es
(a) Verletzung der Injektivität (weil nicht monoton)
$\begin{eqnarray*} f: ~\mathbb D \to \mathbb R \quad f(x) := \begin{cases} x \quad : \mid x \mid > 1 \\ 2~x \quad : x \in [-1; +1] \end{cases} \end{eqnarray*}$
Obwohl stückweise monoton über einzelne Teilintervalle.

(b) Verletzung der Surjektivität (trotz strenger Monotonie)
$\begin{eqnarray*} f: ~\mathbb D \to \mathbb R \quad f(x) := \begin{cases} x \quad : \mid x \mid > 1 \\ \frac{1}{2} ~x \quad : x \in [-1; +1] \end{cases} \end{eqnarray*}$

Sämtliche Beispiele sind auf einem Intervall $\begin{eqnarray*} \mathbb R = (- \infty, -1) \cup [-1,1] \cup (+1, \infty) \end{eqnarray*}$ definiert.

Zitat:

Leopold
Im Innern sowohl von $\begin{eqnarray*} I_1 \end{eqnarray*}$ als auch von $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f'(x)>0 \end{eqnarray*}$ . Daher ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sowohl in $\begin{eqnarray*} I_1 \end{eqnarray*}$ als auch in $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend. Da die Intervalle aneinander anschließen, ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im ganzen Definitionsbereich streng monoton wachsend.

Wink

21.04.2006, 13:01

Leopold

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Zitat:

Original von Ace Piet
Sämtliche Beispiele sind auf einem Intervall $\begin{eqnarray*} \mathbb R = (- \infty, -1) \cup [-1,1] \cup (+1, \infty) \end{eqnarray*}$ definiert.

Und restringiert auf jedes dieser Intervalle ist die Funktion auch umkehrbar.

21.04.2006, 13:13

Ace Piet

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Ace Piet
Sämtliche Beispiele sind auf einem Intervall $\begin{eqnarray*} \mathbb R = (- \infty, -1) \cup [-1,1] \cup (+1, \infty) \end{eqnarray*}$ definiert.

Und restringiert auf jedes dieser Intervalle ist die Funktion auch umkehrbar.

War wohl ein Verständnisfehler meinerseits. - Hatte vermutet, es war von Bijektivität über den Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb D \end{eqnarray*}$ die Rede.

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