Exakte Differentialgleichung

12.07.2008, 15:05

ArtiLife

Exakte Differentialgleichung

Hi,
seit Stunden versuche ich nachzuvollziehen wie man eine exakte Differentialgleichung löst. Im Internet finde ich immer die Definition/Ansatz wie er auf wikipedia zu finden ist:
Wiki [klick]

Zu lösen ist:

http://upload.wikimedia.org/math/e/4/6/e463054b55effa6015d7c0203e5bb0ee.png

Als Lösung habe ich ausm Tutorium:
p(x,y) = 0,5 x²
q(x,y) = 0,5 y²
---> x² + y² = 2c

Hoffe jmd weiß weiter!

12.07.2008, 15:43

pingu

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Ok, weisst du, was für ein Typ von DGL das ist?

lg

12.07.2008, 15:46

ArtiLife

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Laut Wiki eine Gewöhnliche Differentialgleichung...falls das gemeint ist.
Habe was Differentialgleichungen angeht nicht wirklich viel Grundwissen...es wurde auch nicht wirklich behandelt aber mitten in der Vorlesung taucht plötzlich diese Afuageb auf verwirrt

12.07.2008, 16:11

pingu

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Ich hab grad gemerkt, dass sie mehrdimensional ist, das hatte ich auch noch nicht wirklich so als DGL. Tur mir Leid, sieht so aus, als ob ich dir nicht weiterhelfen könnte unglücklich

12.07.2008, 16:27

Leopold

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RE: Exakte Differentialgleichung

Zitat:

Original von ArtiLife
Zu lösen ist:

http://upload.wikimedia.org/math/e/4/6/e463054b55effa6015d7c0203e5bb0ee.png

Als Lösung habe ich ausm Tutorium:
p(x,y) = 0,5 x²
q(x,y) = 0,5 y²
---> x² + y² = 2c

Das paßt nicht zusammen. Bitte die Angaben korrigieren!

13.07.2008, 11:54

ArtiLife

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Das ist alles was ich habe und verstehen tue ich es auch nicht....deshalb kann ich nichts korrigieren Augenzwinkern

13.07.2008, 13:25

therisen

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Ich löse mal die von dir genannte Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} a+by'=0\qquad\qquad(*) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a(x,y)=\frac12x^2,b(x,y)=\frac12y^2 \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} \frac{\partial a}{\partial y}=0=\frac{\partial b}{\partial x} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ exakt. Es existiert also eine Stammfunktion des Vektorfeldes $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ , zum Beispiel $\begin{eqnarray*} F(x,y)=\frac16x^3+\frac16y^3 \end{eqnarray*}$ . Aus $\begin{eqnarray*} F(x,y)=c \end{eqnarray*}$ erhält man $\begin{eqnarray*} y=\sqrt[3]{6c-x^3} \end{eqnarray*}$ , sofern $\begin{eqnarray*} x^3\leq6c \end{eqnarray*}$ . Tatsächlich gilt

$\begin{eqnarray*} a(x,y(x))+b(x,y(x))y'(x)=0 \end{eqnarray*}$ ,

d.h. $\begin{eqnarray*} y(x)=\sqrt[3]{6c-x^3} \end{eqnarray*}$ löst $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ .

13.07.2008, 13:56

AtiLife

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Wieso gilt: