Extremwerte mit Lagrange

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12.07.2008, 15:22	Supermuh2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwerte mit Lagrange Hallo zusammen. Ich bin grad an einer scheinbar einfachen Aufgabe. Gesucht ist das Minimum von $\begin{eqnarray} f(x,y) = x^2 + y^2 \end{eqnarray}$ Nebenbedingung $\begin{eqnarray} (x-3)^3+(y-5)^2=1 <=> (x-3)^2+(y-5)^2-1=0 \end{eqnarray}$ Also bastel ich mir die Hilfsfunktion $\begin{eqnarray} f(x,y,\lambda) = x^2 + y^2 + \lambda((x-3)^2+(y-5)^2-1) \end{eqnarray}$ und Leite sie nach x und y ab... zusammen mit der Nebenbedingung ergibt sich folgendes LGS: $\begin{eqnarray} 2x + 2\lambda(x-3) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2y + 2\lambda(y-5) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x-3)^2+(y-5)^2-1 =0 \end{eqnarray}$ So. Jetzt muss ja $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray*}$ eleminiert weden... Wie gehe ich da am besten vor? Ich komm da auf seitenlange Rechnnungen, das kann aber eigentlich nicht sein... Also, hat jemand nen Plan, wie ich das LGS am Besten löse?
12.07.2008, 15:30	pingu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würd vllt nich gleich zuerst versuchen Lambda auzurechnen, sondern über x und y gehen, indem ich die 1. durch die 2. Gleichung teile und so Lambda eliminiere. Ich glaub,bei dir hats eh noch nen Fehler in der Rechnung, du musst die Nebenbedingung abziehen. So: $\begin{eqnarray} f(x,y,\lambda) = x^2 + y^2 - \lambda((x-3)^2+(y-5)^2-1) \end{eqnarray*}$ lg
12.07.2008, 15:34	Supermuh2000	Auf diesen Beitrag antworten »
nee ich mein nicht... wieso elemenier ich lambda wenn ich die 1. durch die 2. gleichung teile??
12.07.2008, 15:41	pingu	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich bin mir zeimlich sicher,dass das mit dem - so ist, habs auch so in meine Formelsammlung geschrieben. Weil ( $\begin{eqnarray} 2\lambda \end{eqnarray}$ ) /( $\begin{eqnarray} 2\lambda \end{eqnarray}$ ) = 1 ist.
12.07.2008, 15:52	Supermuh2000	Auf diesen Beitrag antworten »
vielleicht verwechselst du das mit der hesse-matrix bei extrema ohne n.b. ?! ich steh grad wieder bzw immernoch auf dem schlauch.. also mein neues lgs wäre denn $\begin{eqnarray} (x-3)^2 + (y-5)^2 - 1 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{x}{(x-3)} - \frac{y}{(y-5)}= 0 \end{eqnarray}$ welchen schritt mach ich als nächstes.. irgendwie bekomm ich doch jetzt sicher das quadrat weg?!
12.07.2008, 16:00	pingu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, es steht bei mir schon unter Lagrange(Extrema mit Nebenbedingungen)(lokal)^^. Wart ich schaus mir nochmals kurz an.
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12.07.2008, 16:09	pingu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich seh jetzt grad nicht, wei du darauf kommst, aber ich würde es so machen: ( $\begin{eqnarray} 2x + 2\lambda(x-3) = 0 \end{eqnarray}$ )/( $\begin{eqnarray} 2y + 2\lambda(y-5) = 0 \end{eqnarray}$ ) Das gibt dann: $\begin{eqnarray} \frac{x}{y}+ \frac{(x-3)}{(y-5)} \end{eqnarray}$ Weiter umgeformt, also nach x aufgelöst gibt das: $\begin{eqnarray} x=\frac{4}{y} \end{eqnarray}$ . Und dann das ersetzte x einfach in Gl. 3 einsetzen. Wird zwar eine quadratische Gleichung geben, aber dazu gibt es ja eine Formel oder man kann dann quad. ergänzen. So klar? Aber ich bin immer noch derselben Meinung mit dem Minus ^^. lg
12.07.2008, 18:27	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch völliger Humbug. Alternativvorschlag: Multipliziere die erste Gleichung mit y-5, die zweite mit x-3. Dann kannst du die beidne gleichungen voneinander abziehen, die Lambdas fallen heraus, und du hast 2 Gleichungen in den 2 Variablen x und y. Edit: Ich weiß jetzt was Pingu meint. Bringe den summanden mit dem lambda jeweils auf die rechte Seite. Dann kannst du tatsächlich die Gleichungen durcheinander dividieren, und das lambda fällt heraus. So wie es dasteht ist es unsinnig, du teilst ja auf der rechten Seite 0/0.
12.07.2008, 18:30	pingu	Auf diesen Beitrag antworten »
Und ob das funktioniert! Weshalb kommst du zu der Annahme, dass das nicht stimmen könnte? Das spielt keine Rolle , ob ich nun 0 durch 0 teile oder nicht, es kommt aufs selbe raus. Natürlich stimmt es streng genommen nicht, da man nicht durch 0 teilen darf, aber ich glaube die Idee dahinter sollte klar sein.
12.07.2008, 21:19	myWay	Auf diesen Beitrag antworten »
kombinieren der beiden funktionen $\begin{eqnarray} F(x,y,\lambda) = x^2 + y^2 + \lambda((x-3)^2 +(y-5)^2 -1) \end{eqnarray}$ ableiten nach x und nach y $\begin{eqnarray} F_x(x,y,\lambda) = 2x + 2\lambda (x-3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_y(x,y,\lambda) = 2y + 2\lambda (x-5) \end{eqnarray}$ jetzt die ableitungen null setzen und nach lambda auflösen $\begin{eqnarray} F_x(x,y,\lambda) = 2x + 2\lambda (x-3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = 2x + 2\lambda (x-3) \end{eqnarray}$ \| -2x und dann :2(x-3) $\begin{eqnarray} -\frac{2x}{2(x-3)} = \lambda \end{eqnarray}$ (kürzen) $\begin{eqnarray} -\frac{x}{x-3} = \lambda \end{eqnarray}$ für die ander ableitung analog $\begin{eqnarray} \lambda = -\frac{y}{y-5} \end{eqnarray}$ die beiden nach lambda aufgelösten ableitungen gleichsetzen und nach x oder y auflösen, ist dir freigestellt. ich nehm hier x $\begin{eqnarray} -\frac{y}{y-5} = -\frac{x}{x-3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = \frac{3}{5}y \end{eqnarray}$ prinzipelles weiteres vorgehen: in der nebenbedinung x durch den berechneten y wert ersetzen und die nullstellen von y-bestimmen mit den y-nullstellen die x werte berechnen * jetzt prüfen welcher der beiden extremwerte ein minimum ist, dazu beachte die bemerkung in der Aufgabe mit dem urpsrung (3,5) und dem radius 1...... ;-)
13.07.2008, 13:13	Supermuh2000	Auf diesen Beitrag antworten »
super, danke leute edit: myway meint auch + lambda * nebenbedingung!!
13.07.2008, 13:58	pingu	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ein Beispiel aus meine Skript. f(x,y,z) ist die Fkt. und F(x,y,z) die Nebenbedingung.
14.07.2008, 10:18	Supermuh2000	Auf diesen Beitrag antworten »
okay krass... bei mir stehts mit + .... vlt spielt das aber auch garkeine rolle, weil die beiden vorzeichen sich im laufe der rechnung aufheben =) ich schreib gleich klausur, da probier ichs mal aus ne quatsch. ich bleib beim +
29.07.2008, 11:46	Question	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das haben wir auch in der VL gehabt. Einmal mit + und einmal mit -. Ich benutze immer -^^ Aber wie Supermuh sagt, die heben sich ja soiweso auf, daher spielt es keine Rolle^^
29.07.2008, 12:48	sax	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu dem Plus Minus Streit: Das ist völlig irrelevant, da $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ eine erstmal unbekannte Groesse ist. Wenn man $\begin{eqnarray} \tilde{\lambda}=-\lambda \end{eqnarray}$ substituiert kommt man von einem zum anderem.
31.07.2008, 14:12	Question	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr amüsant, diese Frage wurde uns direkt mal in der Klasur gestellt^^

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