Rekursive Knifflige Stochastik Aufgabe

21.04.2006, 14:27	MAX-NEUSS	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Knifflige Stochastik Aufgabe Aufgabe: 2 Leute würfeln mit einem Laplace Würfel. Gewinnen tut man bei einer 6. So es wird unendlich mal gewürfelt. Wie verhalten sich die Wahrscheinlichkeiten dass der erste gewinnt zu der das der zweite Gewinnt. Tjo Ich habe mir jetzt einen unendlichen baum überlegt, aber das kanns ja nicht sein oder? Wie würdet ihr sowas lösen?
21.04.2006, 14:31	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, so ganz daneben ist der Baum nicht - zumindest kann er bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten helfen. Wie schauen die Würfelergebenisse denn aus, bei denen A bzw. B gewinnt? Gruß Anirahtak
21.04.2006, 14:33	MAX-NEUSS	Auf diesen Beitrag antworten »
also bei einer 6 gewinnt man ( $\begin{eqnarray} P_{win}=\frac{1}{6} \end{eqnarray}$ ) Naja aber der Baum geht endlos weiter wenn beide immer etwas anderes als eine 6 würfeln das ist die sache die mir knifflig erscheint! Hmm also das $\begin{eqnarray} P_{Erster} : P_{Zweiter} \end{eqnarray}$ Verhältnis würde mir shcon reichen aber keine ahnung wie ich den unendlichen Baum malen soll! soviel papier haben wir garnicht
21.04.2006, 14:36	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mein Ansatz wäre: P(A Gewinnt)=P(A Gewinnt bei seinem ersten Wurf)+P(P Gewinnt bei seinem 2. Wrf)+... Jetzt musst du nur noch die einzelnen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Gruß Anirahtak
21.04.2006, 14:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht mit einem unendlichen Baum und läuft auf eine geometrische Reihe hinaus. Es geht aber auch mit der folgenden Überlegung: Es sei $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ die Gewinnwahrscheinlichkeit des ersten Spielers. Mit $\begin{eqnarray} 1-p \end{eqnarray}$ gewinnt also der zweite Spieler, denn die Wahrscheinlichkeit, daß keiner der beiden gewinnt, ist (in nicht ganz korrekter, aber wohl verständlicher Schreibweise) $\begin{eqnarray} \left( \frac{5}{6} \right)^{\infty}=0 \end{eqnarray}$ . Beachte, daß beim dritten Wurf für beide Spieler wieder die Ausgangssituation erreicht ist. Der erste Spieler gewinnt also, wenn er a) gleich beim ersten Wurf gewinnt (Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} \frac{1}{6} \end{eqnarray}$ ) oder wenn er b) beim ersten Wurf keine 6 würfelt und der zweite Spieler beim zweiten Wurf ebenfalls keine 6 würfelt (Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \end{eqnarray}$ ) und der erste Spieler vom dritten Wurf ab irgendwann einmal gewinnt. Das gibt eine simple lineare Gleichung für $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ .
21.04.2006, 15:30	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Da das Problem bezüglich der Gewinncharakterisierung für A und B symmetrisch ist, kann man auch gleich zur Gleichung $\begin{eqnarray} p = \frac{1}{6}+\frac{5}{6} (1-p) \end{eqnarray}$ übergehen. Und zwar in der Bedeutung $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ... Gewinnwahrscheinlichkeit des Spielers, der anfängt (!)
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