Differentialaufgabe lösen

13.07.2008, 00:03

_Vic_

Differentialaufgabe lösen

Moin Moin, ich stehe hier vor einer Differentialaufgabe und habe da ein kleines Logikproblem.

Zuerst mal die Aufgabe:

Zitat:

Eine Badewanne, die leck ist, verliert pro Minute 1/10 ihres Inhalts. Anfangs ist sie mit 250 l gefüllt. Wann enthält sie weniger als 50l? Formulieren Sie die Aufgabe als Anfangswertproblem.

Also an sich ja kein Problem.
Das direkte Bildungsgesetz der Folge lautet ja $\begin{eqnarray*} a_n = 250 (\frac{9}{10})^n \end{eqnarray*}$
50 eingesetzt und nach n aufgelöst erhält man 15.28.

Aber der ganze Quark soll ja als Differential gelöst werden.

also habe ich folgendes gemacht:
I(t) = Wanneninhalt
V(t) = I'(t) = Wasserverlust

I(0) = 250
V(t) = -1/10 I(t)

Durch Trennung der Variablen bekomme ich die folgenden Schritte
$\begin{eqnarray*} I'(t) &= -\frac{1}{10} I(t) \\ \frac{dI}{dt} &= -\frac{1}{10} I \\ \int{\frac{dI}{I}} &= -\frac{1}{10} \int{dt} \\ ln(I) &= -\frac{1}{10} t + ln(C) \\ I &= Ce^{-\frac{1}{10}t} \end{eqnarray*}$

C kann man ja mit I(0) = 250 berechnen, also ist C = 250

Vergleiche ich aber die Funktionswerte von I(t) für t = 1, 2, ... dann stimmen die nicht mit den Werten der Folge a_n überein. Wie ich bereits schon herausgefunden habe, liegt das am e. Ersetze ich e durch 2.86797... kommen die richtigen Ergebnisse raus.

Wo ist genau mein Denkfehler? Wieso muss ich e ersetzen, damit das Richtige herauskommt?

Gruß und gute Nacht an alle die noch wach sind Big Laugh

Vic

13.07.2008, 04:52

trollkotze

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Das Problem ist die diskrete Zeiteinheit in der Formulierung der Aufgabe.
Es steht geschrieben: Die Badewanne verliert pro Minute ein Zehntel ihres Inhalts.
Das heißt, die Verlustrate ist zeitabhängig. Die Zeit vergeht nun mal aber nicht in diskreten Einheiten (hier Minuten) sondern kontinuierlich [mag sein, dass einige Physiker da was besseres wissen - aber im makroskopischen kann man es wohl so sehen].
In deiner Folgendarstellung des Sachverhalts vergeht die Zeit in diskreten Einheiten. Das heißt, in der ersten Minute verliert die Wanne genau ein Zehntel ihres ursprünglichen Inhalts. In der zweiten Minute verliert sie genau ein Zehntel des Inhalts, der noch nach der ersten Minute vorhanden war und so weiter.
Wenn du es aber durch eine Differentialgleichung modellierst, wird darin der Zustand der Wanne und auch die (zeitabhängige) Verlustrate zu jedem Zeitpunkt "aufgefrischt".
Dadurch ergibt sich eben die Diskrepanz in den verschiedenen Berechnugnen.
Wenn du sagen würdest, die Wanne verliert pro Sekunde 1/600 ihres Inhalts, und die Veränderung des Zustands dann durch eine diskrete Folge modellieren würdest, wärst du näher an dem durch die Differentialgleichung gegebenen Modell, als wenn du mit der größeren Zeiteinheit (Minute) rechnest. Das durch die Differentialgleichung gegebene Modell ist der Limes des diskreten Modells, wenn die gewählte Zeiteinheit gegen Null geht.
Ich hoffe, ich habe nichts falsches gesagt, denn ich habe über all das nicht sehr gründlich nachgedacht.

13.07.2008, 09:09

Leopold

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Eine schöne Erklärung.

Übrigens ist die von _Vic_ angepaßte Basis gerade $\begin{eqnarray*} a = 0{,}9^{-10} \end{eqnarray*}$ , denn

$\begin{eqnarray*} 250 a^{-0{,}1 \, t} = 250 \cdot \left( 0{,}9^{-10} \right)^{-0{,}1 \, t} = 250 \cdot 0{,}9^t \end{eqnarray*}$

Wenn man beim kontinuierlichen Modell (Lösung der Differentialgleichung) von einem Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ des Graphen aus 1 Zeiteinheit (Minute) nach rechts und 1/10 des aktuellen Inhalts nach unten geht, landet man auf einem Punkt der Tangenten in $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ .

Wenn man dagegen beim diskreten Modell das Entsprechende macht, landet man bei einem Punkt des Graphen.

Beide Modelle sind "vernünftig", aber nicht identisch. Letztlich liegt alles an der Interpretation der Formulierung "verliert pro Minute 1/10 ihres Inhalts". Ist "pro Minute" als echte Minute gemeint (diskretes Modell) oder im Sinne von "wenn es so weitergeht wie im Moment, dann würde in der nächsten Minute ..." (kontinuierliches Modell).

13.07.2008, 15:31

_Vic_

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Danke euch beiden, das macht Sinn.

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