Differentialgleichung

Neue Frage »

.seb Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung
Hallo,
könnt ihr mich bitte helfen, die Anfangswertaufgabe der Differentialgleichung:

y'' = -16*y + cos(5t) ; y(0)=0, y'(0)=0

zu lösen.

Ich habe Probleme die Aufgabe zu lösen, weil es mich schwerfällt y'' und y aufzulösen.

Es handelt sich aus meiner Sicht um eine inhomogene Gleichung, und da liegt ja die Methode der Variation der Konstanten nahe.

Ich habe es mal mit der Substitution z=y' oder mit einem äquivalenten Ausdruck für y'' ( " d²y/dx²") versucht, aber ich bekomme immer irgendwas mit 1/8x oder 1/16x etc. heraus (oder schlechteres), was den Anfangsbedingungen widerspricht.

Ich bin für jeden Hinweis dankbar.

LG Basti
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung
Zitat:
Original von .seb
Es handelt sich aus meiner Sicht um eine inhomogene Gleichung, und da liegt ja die Methode der Variation der Konstanten nahe.


Variation der Konstanten bedeutet immer einigen Rechenaufwand. Vielmehr kann man hier einen speziellen Ansatz für eine inhomogene Lösung wählen, der schnell zum Ziel führt (Quasipolynome). Zunächst mal solltest du aber die zugehörige homogene DGL lösen.
.seb Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung
Zitat:
Original von therisen
Zitat:
Original von .seb
Es handelt sich aus meiner Sicht um eine inhomogene Gleichung, und da liegt ja die Methode der Variation der Konstanten nahe.


Variation der Konstanten bedeutet immer einigen Rechenaufwand. Vielmehr kann man hier einen speziellen Ansatz für eine inhomogene Lösung wählen, der schnell zum Ziel führt (Quasipolynome). Zunächst mal solltest du aber die zugehörige homogene DGL lösen.


Ich habe mich schon fast gedacht, dass das einfacher gehe...
Ich weis noch nicht ganz, welchen Ansatz du meinst - sollte es die Methode der Ansatzfunktion sein, sage nur Bescheid...
Da habe in diesem Fall die Funktion y = (C1 * cos x + C2 * sin x)*16 im Kopf, die mich aber auch nicht zu neuen Erkenntnisse führte.

Ich weis nicht, ob ich mich da übermäßig unbeholfen anstelle, aber ich weis so recht nicht, wie ich auf die allgemeine Lösung der DGL gelange...
(Ich behandele y just als Zahl)

y''= -16y; y'= -8y²; dy/dx= -8y²







Sollte das korrekt sein ?
.seb Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung
Ich bitte die Grammatikfehler oben zu entschuldigen. Ich bin sehr in Eile und würde mich über eine schnelle Lösung des Problemes freuen, die natürlich nur ich erbringen sollte und möchte.
pingu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung
Ich würde den homogenen Teil eher mit dem charakteristischen Polynom ermitteln...
.seb. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung
Zitat:
Original von pingu
Ich würde den homogenen Teil eher mit dem charakteristischen Polynom ermitteln...


Ich hoffe, ich weis, worauf du hinaus möchtest...
Ich erhalte dann für die homogene Gleichung die Fundamentalsysteme e^(0e)=1 und e^(-16x)...
Also dann y(x)= c1 * c2 * e^(-16x).
Dann gehen aber die Anfangsbedingungen nicht auf.
 
 
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt so nicht wirklich.
Also das charakteristische Polynom auf diese Gleichung angewandt, ergibt folgendes:
. Und da musst du jetzt einfach noch nach auflösen. Ok, und versuch jetzt mal weiterzurechnen.
.seb. Auf diesen Beitrag antworten »

Jut, danke... ich versuche es zu verstehen.
Also ich habe nun ein komplexes Fundamentalsystem:
y1= e^(4x*i) = cos 4x + sin 4x
y2=e^(-4x*i) = cos 4x - sin 4x
(Die Wurzel mit Haupt-und Nebenwert)

--> also das Fundamentalsystem ist: cos 4x , sin 4x

y = cos(4x)*c1 + sin(4x)*c2

y' = -sin(4x)*c1 + cos(4x)*c2

Was wird nun gemacht ?
Die Methode über die Variation der Konstante stelle ich mir für diese Zielrichtung zu umfangreich vor...
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest öfter mal "mir" anstatt "mich" schreiben. Ist ja schrecklich... Augenzwinkern

Zur Aufgabe: Ansatz vom Typ der rechten Seite.
.seb. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Du solltest öfter mal "mir" anstatt "mich" schreiben. Ist ja schrecklich... Augenzwinkern

Zur Aufgabe: Ansatz vom Typ der rechten Seite.


Ich wohne hier oben in MeckPomm, die kennen ohnehin nur "mi", die Platten. smile
Ich glaube, das ist durch mein Studiumsaufenthalt schon ein bisschen auf "mich" übergesprungen. Aber ist schön hier !
Wäre toll, wenn du noch etwas konstruktives zu diesem Problem beitragen kannst.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich! Wer lesen kann, ist klar im Vorteil. Außerdem halte ich es für schlimm, wenn ein deutscher (!) Student nicht einmal seine Muttersprache beherrscht. Aber das ist nur meine Meinung. Augenzwinkern
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab da in meiner Fomelsammlung eine Liste mit Ansätzen. In diesem Fall haben wir ja cos(5t) als inhomogenen Teil. Dazu der Ansatzt, wenn nicht Element des Spektrums L ist, gilt . Ansonsten gilt:
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@pingu: Schön, dass du helfen willst. Aber das tust du nicht, wenn du deine Symbole nicht erklärst. Augenzwinkern
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

welche Symbole meinst du denn???
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, welche Symbole meine ich wohl...? unglücklich
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

und sind Ansätze für , je nachdem, was für eine Spektralbedingung gilt, und das herauszufeinden überlass ich mal vorerst noch .seb. So besser (obwohl ich eintl der Meinung bin, dass es klar sein sollte)?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Mir scheint, du hast es selber nicht verstanden. Das omega ist nicht zu bestimmen, sondern ist gleich 5 (wegen cos(5t)). Was L sein soll, bleibt weiter im Verborgenen, und das Wort "Spektrum" ist auch nicht jedem geläufig.
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss, das das 5 sein sollte, aber man soll die Lösung ja nicht auf dem Präsentierteller servieren. Ausserdem ist "Spektrum" kein Symbol,sondern ein Begriff.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pingu
Ich weiss, das das 5 sein sollte, aber man soll die Lösung ja nicht auf dem Präsentierteller servieren.


Hinweise, die der Fragesteller nicht versteht, bringen ihn aber auch nicht weiter, oder?


Zitat:
Original von pingu
Ausserdem ist "Spektrum" kein Symbol,sondern ein Begriff.


Nun, ich habe dir noch zugetraut, darauf zu kommen, auch deine Begriffe zu überprüfen.

Anstatt dich weiter zu rechtfertigen, solltest du lieber deinen Tipp erklären, damit .seb. auch was davon hat.
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin voll und ganz auch damit einverstanden, dass wir unsere Meinungsverschiedeheiten nicht hier austragen sollen, dennoch bin ich der Meinung, dass man allfällige Fragen dem Fragesteller überlassen sollte, du weisst ja gar nicht, ob er weiss was meine genannten Symbole/Begriffe bedeuten.

Tipp zu Spektrum:

Prüfe die Eigenwerte, die du aus der homogenen Lösung rausbekommen hast. Falls (in diesem Falle ist das als 5 aufzufassen) nicht dazugehört, also mit denen aus der hom. Lsg nicht übereinstimmen, wähle diesen Ansatz:
, ansonsten den anderen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich übersetze das mal (Eigenwerte haben nur Matrizen - daher passt das hier so nicht).

Überprüfe, ob 5i eine Lösung der charakteristischen Gleichung der homogenen DGL ist. Wenn nein, nimmst du den von pingu zuletzt geposteten Ansatz (mit omega = 5). Wenn ja, dann haben wir einen sogenannten Resonanzfall und der obige Ansatz ist mit t zu multiplizieren.
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

@WebFritzi
Das stimmt, aber das charakteristische Polynom kommt ja auch aus der linearen Algebra,, trotzdem werden viele Techniken von dort auch in der Analysis angewendet.

@.seb
Ok, wie auch immer, falls noch Fragen sind, stell sie einfachAugenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pingu
@WebFritzi
Das stimmt, aber das charakteristische Polynom kommt ja auch aus der linearen Algebra,, trotzdem werden viele Techniken von dort auch in der Analysis angewendet.


Das ist dir richtig aufgefallen. Das "aber" passt hier dennoch nicht, da Eigenwerte wie gesagt nur für lineare Abbildungen definiert sind. Vorhin hattest du noch von einem L gesprochen, es aber nicht definiert (ein weiteres unbekanntes Symbol). Wahrscheinlich war damit eine gewisse (welche wohl?) lineare Abbildung gemeint. Da deren charakteristisches Polynom und das der homogenen DGL übereinstimmen, sind die Nullstellen des charakt. Polynoms der DGL gerade die Eigenwerte von L.
.seb. Auf diesen Beitrag antworten »

Also danke erstmal für die tolle Unterstützung.

WebFritzi - ich teile deine Erwartungshaltung der Sprache.
Warum du das hier vorträgst, entschließt sich allerdings meinem Verstande. Ich unterstelle keinem Menschen ein Motiv vorbehaltlos.
Ich möchte eigentlich wieder zur Sache zurückkehren und mich nicht in Streitigkeiten ergeben.
(Ich verspreche mich in gewisser Hektik, was ich sicher abstellen sollte. Kein Mensch spricht jederzeit perfekt.)

Es ergibt sich kein Resonanzfall und die Sache muss wohl tatsächlich über die Ansatzfunktion geklärt werden.
Eine ähnliche Funktion, wie hier vorgestellt, liegt ebenfalls im Script der Vorlesung vor.

Was ist mit A und B gemeint ?
Sind das die Winkel alpha und beta?

Am Ende hat man wohl etwas für A und B raus bzw. dann eine spezielle Funktion y(Strich)....
Ich weis bloß so richtig nicht, wie die praktische Rechnung nun aussehen soll...
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

Poste doch einfach mal, wie und was du bist jetzt gerechnet hast.

Zu A und B, das sind Konstanten, die auch ermitteln sollst. Die Lösung des inhomogenen Teils nennt man auch partikuläre Lsg. Diese partikuläre Lsg yp müsstest du jetzt noch in die ursprünglich DGL einsetzen. In deinem Falle muss da der eine Teil noch 2x abgeleitet werden. Dann hast du quasi eine "neue" DGL, die gleich cos(5t) ist. Und so kannst du dann A und B rausbekommen
.seb. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pingu
Poste doch einfach mal, wie und was du bist jetzt gerechnet hast.

Zu A und B, das sind Konstanten, die auch ermitteln sollst. Die Lösung des inhomogenen Teils nennt man auch partikuläre Lsg. Diese partikuläre Lsg yp müsstest du jetzt noch in die ursprünglich DGL einsetzen. In deinem Falle muss da der eine Teil noch 2x abgeleitet werden. Dann hast du quasi eine "neue" DGL, die gleich cos(5t) ist. Und so kannst du dann A und B rausbekommen


Dieser Stoff wird uns gerade durch die Mathematik 2 Vorlesung angeboten und es ist jetzt erst nach längerem Studium der Unterlagen überhaupt möglich, die Methoden auch aus einem anderen Blickwinkel zu sehen.
Na ja Mathematik interessiert mich schon, aber ich bin (noch) nicht leidenschaftlich genug dabei...

Also gut:

y= A*cos(5t*x) + B*sin(5t*x)
( y'= -5t*A*sin(5t*x) + 5t*B*cos(5t*x) )
y''= -5t²*A*cos(5t*x) - (5t)²*B*sin(5t*x)

Das setze ich in die Ausgangs-DGL ein und erhalte einen ziemlich langen, nach sin(5t*x) und cos(5t*x) auszuklammernden Ausdruck:

cos(5t*x)[-5t²*A - A] + sin(5t*x)[-(5t)²*B + B]= cos(5t)

Bis dahin bin ich gekommen
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nocht ganz, was du mit einem anderen Blickwinkel meinst.

Aber bei dir hats noch einen Fehler drin, das x braucht es nicht, es sind ja jeweils Fkt'en von t.


y= A*cos(5t) + B*sin(5t)

ok, und das leiten wir nun wie ab (nach t)?
.seb. Auf diesen Beitrag antworten »

(-25A+5B)*cos(5t)-(25A+5B)*sin(5t) = cos5t

Ich erhalte zum Schluss:

A= -1/50
B= 1/10

--> y = cos(4x)*c1 + sin(4x)*c2 - (1/50)*cos(5t) + (1/10)*sin(5t)

Um c1 und c2 für die speziellen Lösung herauszubekommen, muss noch die Ableitung von y gebildet, die Anfangsbedingungen eingesetzt und dann das LGS nach c1 und c2 aufgelöst werden.
Sollte das soweit richtig sein, bedanke mich erstmal bis dahin.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ersetze in deiner Lösung noch x durch t (oder andersrum). Dann stimmt's.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »