n-te ableitung bestimmen

13.07.2008, 17:50

DarthVader

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n-te ableitung bestimmen

hallo zusammen,

folgende aufgabe soll ich bearbeiten:

wir betrachten die funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

a)
wir bilden die ersten drei ableitungen dieser funktion.

b)
wir stellen nun eine vermutung für die n-te ableitung auf.

also ich hab versucht die ersten drei ableitungen zu bilden:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0+\frac{1 \cdot 1!-x \cdot 0}{(1!)^2}+\frac{2x \cdot 2!-x^2 \cdot 0}{(2!)^2}+\frac{3x^2 \cdot 3!-x^3 \cdot 0}{(3!)^2}+...+\frac{n \cdot x^{n-1} \cdot n!-x^n \cdot 0}{(n!)^2} \end{eqnarray*}$

vereinfacht: $\begin{eqnarray*} f'(x)=1+\frac{2x}{2!}+\frac{3x^2}{3!}+...+\frac{n \cdot x^{n-1}}{n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=1+\frac{6x}{3!}+...+\frac{n(n-1)x^{n-2}}{n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=1+...+\frac{n(n-1)(n-2)x^{n-3}}{n!} \end{eqnarray*}$

bei der vorgegebenen funktion hab ich auch an die definition der natürlichen exponentialfunktion gedacht; also:

$\begin{eqnarray*} e^x=\sum_{n=0}^\infty~\frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

und für die ableitung folgt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x \Rightarrow f^{(n)}(x)=e^x \end{eqnarray*}$

jetzt bin ich jedoch der meinung, dass ich bei meinen ableitungen nicht ganz richtig liege, oder irgendwas übersehe. normalerweise müsste doch das selbe rauskommen wie bei der ausgangsfunktion.... verwirrt

verwirrt

13.07.2008, 19:18

Dual Space

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RE: n-te ableitung bestimmen
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n!}=\frac{1}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

Wieso du zum Ableiten die Quotientenregel nimmst ist mir allerdings ein Rätsel. verwirrt

verwirrt

13.07.2008, 20:04

DarthVader

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mmmhhh irgendwie werde ich aus deinem post nicht wirklich schlau.....wie sollte ich hier denn sonst ableiten? und sind meine ableitungen jetzt falsch verwirrt

verwirrt

13.07.2008, 20:11

Dual Space

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Ganz einfach nach der Potenzregel $\begin{eqnarray*} (c\cdot x^n)'=c\cdot n\cdot x^{n-1} \end{eqnarray*}$ .

Es gilt

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{x^n}{n!}\right)'=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}. \end{eqnarray*}$

13.07.2008, 20:11

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} f(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow f(x) = 1 + x + \frac{1}{2!} \cdot x^2 + \frac{1}{3!} \cdot x^3 + ... + \frac{1}{n!} \cdot x^n \end{eqnarray*}$

13.07.2008, 20:11

tmo

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RE: n-te ableitung bestimmen

Zitat:

Original von DarthVader

bei der vorgegebenen funktion hab ich auch an die definition der natürlichen exponentialfunktion gedacht; also:

$\begin{eqnarray*} e^x=\sum_{n=0}^\infty~\frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

und für die ableitung folgt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x \Rightarrow f^{(n)}(x)=e^x \end{eqnarray*}$

jetzt bin ich jedoch der meinung, dass ich bei meinen ableitungen nicht ganz richtig liege, oder irgendwas übersehe. normalerweise müsste doch das selbe rauskommen wie bei der ausgangsfunktion.... verwirrt

verwirrt

Es ist ein Unterschied ob n fest ist (Dann erhält man ein Polynom n-ten Grades) oder ob n gegen unendlich strebt (Dann erhält man die Exponentialfunktion).

n ist weiterhin eine Konstante. Wie beachtest du die beim Ableiten?

Und noch ein Tipp zum Schluss: Wenn man diese Funktion n mal ableitet, dann sind doch die meisten (Welche nicht?) Glieder eh zu 0 geworden...

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13.07.2008, 20:49

DarthVader

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
$\begin{eqnarray*} f(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow f(x) = 1 + x + \frac{1}{2!} \cdot x^2 + \frac{1}{3!} \cdot x^3 + ... + \frac{1}{n!} \cdot x^n \end{eqnarray*}$

gut abgeleitet kommt dann folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=1+x+...+\frac{x^{n-2}}{(n-2)} \end{eqnarray*}$

für die n-te ableitung würde ich dann folgendes sagen:

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}=\frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \geq m \end{eqnarray*}$

13.07.2008, 20:52

tmo

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Wo ist denn das m vom Himmel gefallen? verwirrt

verwirrt

13.07.2008, 20:53

Dual Space

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Zitat:

Original von DarthVader
für die n-te ableitung würde ich dann folgendes sagen:

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}=\frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \geq m \end{eqnarray*}$

Nein das ist absoluter Unsinn. Woher soll denn das m kommen?

Nächster Versuch?

Hinweis: $\begin{eqnarray*} (x^m)^{(n)}=\begin{cases}0 &: n>m\\ ? &: n\leq m\end{cases} \end{eqnarray*}$

13.07.2008, 21:13

DarthVader

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mmhhh ich weiß auch nicht was los ist, ich hab grad wohl ein riesen brett vor dem kopf? ich verstehe den hinweiß nicht so recht......ich soll ja die n-te ableitung bestimmen und wie man bei den vorangehenden ableitungen sehen konnte bildet sich ein gewisses schema ab....also für zähler und nenner (n-1), (n-2), (n-3),...usw. verwirrt

verwirrt

13.07.2008, 21:15

tmo

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Vielleicht kommst du drauf, wenn du mal die

- 1te Ableitung von $\begin{eqnarray*} f_1(x)=x^1 \end{eqnarray*}$
- 2te Ableitung von $\begin{eqnarray*} f_2(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
- 3te Ableitung von $\begin{eqnarray*} f_3(x)=x^3 \end{eqnarray*}$
- 4te Ableitung von $\begin{eqnarray*} f_4(x)=x^4 \end{eqnarray*}$

berechnest.

13.07.2008, 21:36

DarthVader

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ok, das hab ich jetzt mal gemacht (also immer wieder die potenzregel angewendet)......das einzige was mir jetzt dabei auffällt ist, das jede weitere ableitung 0 ergeben würde.......

13.07.2008, 21:41

tmo

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Dann guckst du nicht genau hin.

$\begin{eqnarray*} f_3(x) = x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_3'''(x) = 3 \cdot 2 \cdot 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_4(x) = x^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_4^{(IV)}(x) = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \end{eqnarray*}$

13.07.2008, 21:49

DarthVader

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ok, dass mit den fakultäten hab ich wirklich nicht gesehen, aber wie übertrage ich das jetzt auf meine n-te ableitung der ausgangsfunktion.......

13.07.2008, 21:51

tmo

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Bei der n-ten Ableitung sind doch alle Glieder 0 außer eben die des Summanden mit dem Exponent n.

Und wenn du die n-te Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$ kennst, kennst du auch die gesuchte Ableitung.

13.07.2008, 22:03

DarthVader

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ja die n-te ableitung von dieser funktion kenne ich aber leider nicht......ich würde jetzt vermuten:

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=n! \cdot x^{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

13.07.2008, 22:18

tmo

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Also $\begin{eqnarray*} f_4^{(IV)}(x) = 4! \cdot x^6 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Du hast doch schon erkannt, dass jede weitere Ableitung 0 wäre, also ist die n-te Ableitung konstant. Da is nix mehr mit x im Funktionsterm.

13.07.2008, 22:22

DarthVader

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oh ja stimmt.....dann wäre die n-te ableitung einfach n!

13.07.2008, 22:23

tmo

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Genau. Und wie lautet dann die n-te Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

13.07.2008, 22:31

DarthVader

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ich muss zugeben, da würd ich jetzt auch nur vermuten können

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=\frac{n!}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

13.07.2008, 22:34

tmo

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Die Konstante $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ wird doch die ganze zeit nur mitgeschleppt..D.h. du leitest $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ ab und multiplizierst dann mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ .

13.07.2008, 22:36

DarthVader

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also ist die n-te ableitung dann einfach 1 ???

13.07.2008, 22:36

tmo

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Genau.

13.07.2008, 22:43

DarthVader

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ppuuuuuuuh welch schwere geburt =) vielen vielen dank für die tolle hilfe Gott

Gott

guts nächtle allerseits =)

15.07.2008, 13:54

outSchool

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RE: n-te ableitung bestimmen
Eine einfache Ableitungsregel ergibt sich, wenn die Funktion mit Summenzeichen geschrieben wird.

$\begin{eqnarray*} f(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!} = \sum_{k=0}^n~ \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \sum_{k=0}^n~ \frac{k}{k!} \cdot x^{k-1} = \sum_{k=1}^n~ \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} = \sum_{k=0}^{n-1}~ \frac{x^{k}}{k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \sum_{k=0}^{n-2}~ \frac{x^{k}}{k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(i)}(x) = \sum_{k=0}^{n-i}~ \frac{x^{k}}{k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n-n}~ \frac{x^{k}}{k!} = 1 \end{eqnarray*}$

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