Beweis: Skalarprodukte, Vektorlängen

13.07.2008, 17:51

aRo

Beweis: Skalarprodukte, Vektorlängen

Hallo!
V ist ein euklidischer Vektorraum. Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \pi_U \end{eqnarray*}$ ist die orthogonale Projektion und es gilt: $\begin{eqnarray*} v = \pi_U(v)+v_\perp \end{eqnarray*}$
z.z. $\begin{eqnarray*} U \leq V \Rightarrow || \pi_U(v) || \leq ||v|| \end{eqnarray*}$

Mein Beweis, bei dem ich irgendwas ganz dummes machen muss, denn ich kriege genau das Gegenteil raus:

$\begin{eqnarray*} ||\pi_U(v)|| = || v-v_{\perp}|| = \sqrt{||v+(-v_{\perp})||^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sqrt{||v||^2+||-v_{\perp}||^2} = \sqrt{||v||^2+||-v_{\perp}||\cdot||-v_{\perp}||} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sqrt{||v||^2+||v_{\perp}||^2} \end{eqnarray*}$

und das dürfte ja größer als ||v|| sein....irgendwas muss ich da missverstehen.. Hammer

13.07.2008, 17:57

therisen

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RE: Beweis: Skalarprodukte, Vektorlängen

Zitat:

Original von aRo
$\begin{eqnarray*} \sqrt{||v+(-v_{\perp})||^2}=\sqrt{||v||^2+||-v_{\perp}||^2} \end{eqnarray*}$

Begründung?

13.07.2008, 18:12

aRo

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Pythagoras..

13.07.2008, 18:22

WebFritzi

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Nein, denn v und v_blubb stehen im Allgemeinen nicht senkrecht aufeinander.

13.07.2008, 18:29

aRo

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ach ... du hast recht.

Ich habe dieses schöne Zeichen gesehen und dachte, das solle bedeuten, dass die beiden senkrecht aufeinander stehen. Jetzt habe ich mir die Projektion nochmal angesehen und erkenne meinen Irrtum...*grml*

13.07.2008, 18:31

WebFritzi

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Ich finde das Zeichen auch sehr irreführend.

EDIT: Trotzdem führt dich der Pythagoras hier zum Ziel. Das Beweis ist quasi ein Einzeiler.

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Beweis: Skalarprodukte, Vektorlängen

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