Integral berechnen

13.07.2008, 20:39

Klaus78

Integral berechnen

Kann mir jemand sagen, ob ich dies richtig berechnet habe:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\partial B(0,8)} \frac{1}{z^2+25} dz = 0 \end{eqnarray*}$ , denn

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^2+25} = \frac{\frac{1}{10}i}{z+5i} - \frac{\frac{1}{10}i}{z-5i} \end{eqnarray*}$ (Partialbruchzerlegung)

Dann

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\partial B(0,8)} \frac{1}{z^2+25} dz = \int\limits_{\partial B(0,8)} \frac{\frac{1}{10}i}{z+5i} dz - \int\limits_{\partial B(0,8)} \frac{\frac{1}{10}i}{z-5i} dz = \frac{1}{10}i - \frac{1}{10}i = 0 \end{eqnarray*}$

13.07.2008, 20:55

therisen

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RE: Integral berechnen

Zitat:

Original von Klaus78
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\partial B(0,8)} \frac{1}{z^2+25} dz = 0 \end{eqnarray*}$ , denn

...der Integralsatz von Cauchy ist anwendbar Augenzwinkern

13.07.2008, 20:57

Klaus78

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Den benutze ich ja auch. Aber ich muss doch erstmal Partialbruchzerlegung machen. Ich hab bloß die $\begin{eqnarray*} 2\pi i \end{eqnarray*}$ weggelassen.

Was ist denn daran falsch?

13.07.2008, 21:01

therisen

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Falsch ist nichts, du hättest dir nur die gesamte Rechnung sparen können Augenzwinkern

13.07.2008, 21:04

Klaus78

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Wieso? Man muss es doch in der Form $\begin{eqnarray*} f(\zeta) / (\zeta - z) \end{eqnarray*}$ bringen. Da steht ja $\begin{eqnarray*} 1 / (z^2 + 25) \end{eqnarray*}$ . Und das ist ja nicht von dieser Form (wegen dem Quadrat)

13.07.2008, 21:05

Leopold

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@ therisen

Der Integrand ist aber keinesweg holomorph im ganzen Innern der Kurve.

13.07.2008, 21:08

therisen

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Ahh, ich hatte 0.8 (Null Komma Acht) gelesen und angenommen, der Ursprung wäre der Mittelpunkt.

13.07.2008, 21:14

Leopold

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Dann sollten wir Klaus78 noch sagen, daß er bis auf das fehlende $\begin{eqnarray*} 2 \pi \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ alles richtig gemacht hat.

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